Question

ME AJUDEM PFVV!!!!
Usando a teoria de Laplace, calcule a determinante da matriz
M= 3 4 1 4
3 1 1 0
1 3 2 3
3 2 1 5

Answer 1

$\Large\text{ \underline{\sf Ol\acute{a}{,}\ bom\ dia!} }$

      $\searrow$

☃️ $\large\underline{\sf Teorema\ de\ Laplace.}$

A teoria de Laplace consiste em escolher um coluna ou linha que tenha um número maior de zeros, vou te explicar o por que disso... escolhemos a fileira ou coluna que tenha um número maior de zeros pois o cofator de 0  sempre será 0, vou resolver sua questão passo a passo para que possa compreender melhor o teorema de Laplace. ...Lembrando, o teorema de Laplace pode ser usado para calcular qualquer matriz, mas no caso das matrizes de ordens 2x2 e 3x3 existem outros métodos, no caso da 3x3 existe a regra de Sarrus, essa regra vai ser de suma importância para calcularmos sua questão.

☃️ $\large\text{ \underline{\sf Vamos\ l\acute{a}!} }$

☃️ (Sua matriz):

$\sf M=\left[\begin{array}{cccc}3&4&1&4\\3&1&1&0\\1&3&2&3\\3&2&1&5\end{array}\right]$

De acordo com o teorema de Laplace, devemos escolher a coluna ou fileira com maior número de zeros... no meu caso irei escolher a segunda fileira. feito isso iremos agora multiplicar os número da fileira escolhida com os cofatores de cada um dos números, ficando assim:

$\sf 3\cdot C_2_1 + 1 \cdot C_2_2 + 1 \cdot C_2_3 + \not{0} \cdot \not{C_2_4}$

Perceba que o zero será anulado pois, como havia dito anteriormente... todo cofator que tenha 0 é nulo pois o 0 é um número neutro.

Agora devemos calcular cada um dos cofatores, para calcular um cofator deve-se multiplicar por (-1) elevado ao número de linhas mais o número de colunas, ficando assim:

$\sf C_2_1 = (-1)^2^+^1 = \left|\begin{array}{ccc}4&1&4\\3&2&3\\2&1&5\end{array}\right|$

Perceba que ao anularmos a segunda fileira, também anulamos a primeira coluna, originando-se a matriz de ordem 3x3, agora devemos usar a regra de Sarrus, como eu havia mencionado lá no inicio. ficando assim:

$\sf C_2_1 = (-1)^2^+^1 = \left|\begin{array}{ccc}4&1&4\\3&2&3\\2&1&5\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}4&1\\3&2\\2&1\end{array}\right|$

☃️ (Calculando o determinante dessa matriz):

$\sf 4\cdot 2\cdot 5 + 1\cdot 3\cdot 2 + 4\cdot 3\cdot 1 -(2\cdot 2\cdot 4 + 1\cdot 3 \cdot 4 + 5\cdot 3\cdot 1)$

$\sf 40+ 6 + 12 - 16 -12-15$

$\sf = 15$

☃️ (Então o cofator $\sf C_2_1$):

$\sf C_2_1 = (-1)^2^+^1 = 15$

☃️ (Vamos agora calcular o cofator $\sf C_2_2$):

$\sf C_2_2 = (-1)^2^+^2 = \left|\begin{array}{ccc}3&1&4\\1&2&3\\3&1&5\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}3&1\\1&2\\3&1\end{array}\right|$

☃️(Calculando o determinante dessa matriz):

$\sf 3\cdot 2\cdot 5 + 1\cdot 3 \cdot 3+ 4\cdot 1\cdot 1-(3\cdot2\cdot 4+1\cdot3\cdot 3+ 5\cdot 1\cdot 1)$

$\sf 30 + 9 + 4 - 24 -9-6$

$\sf 43 - 38$

$\sf = 5$

☃️ (Então o cofator $\sf C_2_2$):

$\sf C_2_2 = (-1)^2^+^2 = 5$

☃️ (Agora por último devemos calcular o cofator $\sf C_2_3$):

$\sf C_2_3 = (-1)^2^+^3 = \left|\begin{array}{ccc}3&4&4\\1&3&3\\3&2&5\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}3&4\\1&3\\3&2\end{array}\right|$

☃️(Calculando o determinante dessa matriz):

$\sf 3\cdot 3\cdot 5 + 4\cdot 3\cdot 3 + 4\cdot 1\cdot 2 -( 3\cdot 3\cdot 4 + 2\cdot 3\cdot 3 + 5\cdot 1\cdot 4)$

$\sf 45+36+8 -36 -18-20$

$\sf 89-74$

$\sf =15$

☃️ (Achamos todos os cofatores, agora faremos):

$\sf 3\cdot C_2_1 + 1 \cdot C_2_2 + 1 \cdot C_2_3$

☃️ (Substituindo):

$\sf 3\cdot (-1)\cdot 15 + 1\cdot 1\cdot 5 + 1\cdot (-1)\cdot 15$

$\sf -45 +5-15$

$\sf = -55$

• Concluirmos então que o determinante da sua matriz é igual a -55.

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⭐ Espero ter ajudado!

⭐ Bons estudos!

$\Large\begin{matrix} \underbrace{ \sf By: Pedro } \end{matrix}$