Question

ME AJUDEM PFVR

as arestas das bases de um tronco de piramide regular hexagonal medem 10 e 15 cm. Sendo 20 cm a medida da altura do tronco, determine a área total e o volume do tronco.

Answer 1

Primeiramente iremos definir as letras que usaremos para cada informação:

Aresta maior(A) = 15 cm
Aresta menor(a) = 10 cm
Altura total(H) - altura da parte de cima(h) = 20 cm , que é a altura do tronco

Agora seria bom ter o desenho em mãos para pode acompanhar o raciocínio :

Iremos fazer a relação entre as arestas e as alturas, estando a aresta menor para a altura menor assim como a aresta maior está para a altura maior, logo :

$\frac{A}{a}$ = $\frac{H}{h}$
$\frac{15}{10}$ = $\frac{H}{h}$
$\frac{H}{h}$ = $\frac{3}{2}$
H = $\frac{3*h}{2}$

Mas como H - h = 20cm :

$\frac{3*h}{2}$ - h = 20
$\frac{h}{2}$ = 20
h = 40 cm                                     --> H - 40 = 20   -->  H = 60 cm

Agora calcularemos as áreas das bases menor e maior(a área será 6 vezes a área de um triangulo equilátero):

Da base menor : s = 6·(a² ·$\frac{ \sqrt{3} }{4}$ )
                            s = 6·(10² · $\frac{ \sqrt{3} }{4}$)
                            s = 6 ·(100 · $\frac{ \sqrt{3} }{4}$)
                            s = $\frac{300* \sqrt{3} }{2}$

Da base maior : S =6·(A² ·$\frac{ \sqrt{3} }{4}$ )
                           S= 6·(15² · $\frac{ \sqrt{3} }{4}$)
                           S = 6 ·(225 · $\frac{ \sqrt{3} }{4}$)
                           S= $\frac{675* \sqrt{3} }{2}$

Calculando o Volume:

V = $\frac{1}{3}$ · (S·H - s·h)
V = $\frac{1}{3}$ · ($\frac{675* \sqrt{3} }{2}$ · 60 -  $\frac{300* \sqrt{3} }{2}$ · 40)
V = 4750 · $\sqrt{3}$ cm³

Agora devemos descobrir a aresta lateral da pirâmide(L) para encontrarmos a área lateral dela(usaremos pitágoras) : 

L² =  20² + (15 - 10)²
L² = 400 + 25
L² = 425 cm

Após isso, podemos encontrar a altura da face lateral da pirâmide(G), que é um trapézio :

G² = L² - $(\frac{15-10}{2}) ^{2}$
G² = 425 - $\frac{25}{4}$
G² = 5² · $\frac{67}{4}$
G = $\sqrt{ 5^{2} *\frac{67}{4}}$
G =  $\frac{5* \sqrt{67} }{2}$

Agora, calculamos a área lateral(que é seis vezes a área de um trapézio):

A(lateral) = $\frac{6*(15 + 10)*\frac{5* \sqrt{67} }{2} }{2}$
A(lateral) = $\frac{375* \sqrt{67} }{2}$

Podemos agora calcular a área total : 

A(total) = A(lateral) + A (bases)
A(total) = A(lateral) + S + s 
A(total) = $\frac{375* \sqrt{67} }{2}$ + $\frac{675* \sqrt{3} }{2}$ +  s = $\frac{300* \sqrt{3} }{2}$
A(total) = $\frac{975* \sqrt{3} }{2} + \frac{375* \sqrt{67} }{2}$
A(total) = $\frac{75*13* \sqrt{3} }{2} + \frac{75*5* \sqrt{67} }{2}$
A(total) = $\frac{75}{2}$ · ($13* \sqrt{3} + 5* \sqrt{67}$)cm²