Question

me ajudem nessas equações, por favor!! obs: preciso dos cálculos!

a)
$5x {}^{4} = 3x {}^{28}$
b)
$4x4 {}^{4} = - 5x {}^{2}$
c)
$4x {}^{4} = 17x {}^{2}$
d)
$(x {}^{2} + 3) {}^{2} - 19 (x {}^{2} + 3)$
e)
$x {}^{4} - \frac{9}{4} x { }^{2} + \frac{1}{2} = 0$

​

Answer 1

Resposta:

$a) S= {0 ; -\sqrt[24]{\frac{5}{3} } ;+\sqrt[24]{\frac{5}{3} }}$                  

b ) S ={ 0 }

c)  $x=0$   ∨   $x =+\frac{\sqrt{17} }{2}$    ∨  $x=-\frac{\sqrt{17} }{2}$

d) S = { - 4 ; 4 }

e) S = { - √2 ; - 1/2 ;  √2 ; 1/2 }

Explicação passo a passo:

$a) 5x^{4} =3x^{28}$

Passa tudo para o primeiro membro

$5x^{4} -3x^{28}=0$

colocar em evidência $x^{4}$

$x^{4}* (5*1 -3x^{28-4})=0$

Quando se põe em evidência o que vai ficar no parêntesis resulta dos

seguintes cálculos:

Cálculos auxiliares

$\frac{5x^{4} }{x^{4} } =5*1$        

e      

$\frac{3x^{28} }{x^{4} } =3*x^{28-4} =3x^{24}$

fim de cálculos auxiliares

Continuando

$x^{4}* (5 -3x^{24})=0$        é uma equação produto

$x^{4} =0$    ∨  $-3x^{24}=-5$  nesta equação dividir  tudo por "- 3 "

$x =0$    ∨  $(-3x^{24})/(-3)=-5/(-3)$

$x=0$    ∨  $x^{24}=\frac{5}{3}$      

Na segunda equação extrair a raiz de índice 24

$x =0$    ∨    $\sqrt[24]{x^{24} } =+\sqrt[24]{\frac{5}{3} }$     ∨  $\sqrt[24]{x^{24} } =-\sqrt[24]{\frac{5}{3} }$  

$x =0$    ∨    $x=+\sqrt[24]{\frac{5}{3} }$     ∨  $x =-\sqrt[24]{\frac{5}{3} }$  

$S= {0 ; -\sqrt[24]{\frac{5}{3} } ;+\sqrt[24]{\frac{5}{3} }}$

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$b) 4x^{4} =-5x^{2}$

Passar tudo para 1º membro;  colocar x²  em evidência.

$4x^{4} +5x^{2}=0$

$x^{2} *(4x^{2} +5)=0$

Equação produto, novamente

$x^{2} =0$    ∨  $4x^{2} +5=0$

Na segunda equação passar o 5 para 2º membro.

Em seguida dividir tudo por 4.

Por fim extrair raiz quadrada.

$x =0$    ∨  $4x^{2} =-5$

$x =0$    ∨  $x^{2} =-\frac{5}{4}$

$x =0$    ∨  $x =\sqrt{-\frac{5}{4} }$

Como é impossível resolver em |R raízes quadradas de números negativos

S = { 0 }

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$c) 4x^{4} =17x^{2}$

è o mesmo procedimento

$4x^{4} -17x^{2}=0$

$x^{2} *(4x^{4-2} -17x^{2-2})=0$

$x^{2} *(4x^{2} -17)=0$

$x^{2} *(4x^{2} -17)=0$

$x^{2}=0$  ∨  $4x^{2} -17=0$

$x=0$   ∨   $4x^{2}=17$

$x=0$   ∨   $4x^{2}/4=17/4$

$x=0$   ∨   $x^{2}=17/4$

$x=0$   ∨   $\sqrt{x^{2} } =+\sqrt{\frac{17}{4} }$    ∨  $\sqrt{x^{2} } =-\sqrt{\frac{17}{4} }$

$x=0$   ∨   $x =+\frac{\sqrt{17} }{\sqrt{4} }$    ∨  $x=-\frac{\sqrt{17} }{\sqrt{4} }$

$x=0$   ∨   $x =+\frac{\sqrt{17} }{2}$    ∨  $x=-\frac{\sqrt{17} }{2}$

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d) não está na forma de uma equação

Será :

possibilidade 1

$(x^{2} +3)^{2} =19(x^{2} +3)$

ou

possibilidade 2

$(x^{2} +3)^{2}- 19(x^{2} +3)=0$

Se for alguma destas, o resultado de cada uma delas é idêntico.

Vou resolver pela 2ª possibilidade.

$(x^{2} +3)^{2}- 19(x^{2} +3)=0$

Colocar em evidência  $(x^{2} +3)$   por ser comum aos dois monómios

$(x^{2} +3)*(x^{2} +3- 19)=0$

Equação produto

$x^{2} +3=0$   ∨  $x^{2} +3- 19=0$

$x^{2}=-3$   ∨  $x^{2} - 16=0$

$x=\sqrt{-3}$   ∨  $x^{2} =16$

Primeira equação impossível em |R, pois não há raízes quadradas de

números negativos.

$x^{2} =16$

$x = + \sqrt{16}$     ou   $x = - \sqrt{16}$

x = 4  ∨  x = - 4

S = { - 4 ; 4 }

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$e) x^{4} -\frac{9}{4} x^{2} +\frac{1}{2} =0$

Primeiro vou desembaraçar de denominadores

$x^{4} -\frac{9}{4} +\frac{1}{2} =0$

Multiplico cada monómio por 4

$4x^{4} -4*\frac{9}{4}x^{2} +4*\frac{1}{2} =0$

$4x^{4} -9x^{2} +2 =0$

Esta função tem grau 4.

Como  $x^{4} =(x^{2} )^2$    esta equação chama-se biquadrada

Resolve-se fazendo substituição de incógnita →   $x^{2} =y$

$4y^{2} -9y +2 =0$

Equação do 2º grau

Fórmula de Bhascara

y  = ( - b ±√Δ ) /2a        onde Δ = b² - 4 *a * c       a;  ; b ; c ∈ |R    a ≠ 0

a =  4

b = - 9

c =   2

Δ = ( - 9 )² - 4 * 4 * 2 = 81 - 32 = 49

√Δ = √49 = 7

y1 = ( -( - 9 + 7) /( 2 * 4 )

y1 = ( + 9 + 7 ) / 8

y1= 16/8

y1 = 2

y2 = ( -( - 9 - 7) /8

y2 = ( 9 - 7 ) / 8

y2 = 2/8

y2 = 1/4

Mas y = x²

Substituir y por x²

$x^{2} =2$

$x =+\sqrt{2}$      ∨     $x =-\sqrt{2}$       um par de raízes

$x^{2} =\frac{1}{4}$

$x=+\sqrt{\frac{1}{4} }$     ∨    $x = -\sqrt{\frac{1}{4} }$

$x=+\frac{\sqrt{1} }{\sqrt{4} }$     ∨    $x = -\frac{\sqrt{1} }{\sqrt{4} }$

$x=\frac{1}{2}$     ∨  $x = - \frac{1}{2}$              outro par de raízes

Esta equação tem quatro raízes.

S = { - √2 ; - 1/2 ;  √2 ; 1/2 }

Observação final → Não está indicado se está apenas a resolver exercícios

nos números reais.

Parti do princípio que era em |R.

Bons estudos.

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Símbolos : ( * ) multiplicação        ( / ) divisão          ( ∨ )   ou

( ∈ ) pertence a     ( |R ) conjunto números reais

(x1 ; x2 ; y1; y2 )  nomes dados a raízes de equações