Me ajudem nessa questão:
Prove que, se (AM) é uma progressão aritmética de razão diferente de zero, então A1^k + A2^k + ... + An^k é um polinômio de grau k+1 em n.
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Esta é a Progressão Aritmética:
PA(A1^K, A2^K, ... , An^k)
Temos agora a soma dos termos da progressão, termo a termo, à esquerda. Já à direita, temos também a soma dos termos, porém com o uso da fórmula:
Sn = [(a1 + an) . n] / 2 , veja:
A1^K + A2^K + ... + An^k = [(A1^k + An^k) . n] / 2
Colocando A (do lado esquerdo) em evidência:
A(1^K + 2^K + ... + n^k) = [(A1^k + An^k) . n] / 2
Multiplicando ambos os termos da equação acima por 2, fica:
2A(1^K + 2^K + ... + n^k) = (A1^k + An^k) . n
Usando a propriedade distributiva na parte direita da equação:
2A(1^K + 2^K + ... + n^k) = n . A1^k + n . An^k
Colocando A (do lado direito) em evidência:
2A(1^K + 2^K + ... + n^k) = A(n . 1^k + n . n^k)
Dividindo ambos os membros da equação acima por 2, temos:
A(1^K + 2^K + ... + n^k) = A/2 . (n . 1^k +n . n^k)
Usando a propriedade distributiva na parte esquerda da equação:
A1^K + A2^K + ... + An^k = A/2 . (n . 1^k + n . n^k)
Lembre-se que 1k = 1, Então:
A1^K + A2^K + ... + An^k = A/2 . (n + n . n^k)
Por fim, usando a propriedade da multiplicação de potência com bases iguais:
A1^K + A2^K + ... + An^k = A/2 . [n + n^(k+1)]
Usando a propriedade distributiva no lado direito, temos:
A1^K + A2^K + ... + An^k = A/2 . n + A/2 . n^(k+1)
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