Matemática, perguntado por matbc1, 1 ano atrás

Me ajudem nessa questão:

Prove que, se (AM) é uma progressão aritmética de razão diferente de zero, então A1^k + A2^k + ... + An^k é um polinômio de grau k+1 em n.

Soluções para a tarefa

Respondido por willamslins
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Esta é a Progressão Aritmética: PA(A1^K, A2^K, ... , An^k) Temos agora a soma dos termos da progressão, termo a termo, à esquerda. Já à direita, temos também a soma dos termos, porém com o uso da fórmula: Sn = [(a1 + an) . n] / 2 , veja: A1^K + A2^K + ... + An^k = [(A1^k + An^k) . n] / 2 Colocando A (do lado esquerdo) em evidência: A(1^K + 2^K + ... + n^k) = [(A1^k + An^k) . n] / 2 Multiplicando ambos os termos da equação acima por 2, fica: 2A(1^K + 2^K + ... + n^k) = (A1^k + An^k) . n Usando a propriedade distributiva na parte direita da equação: 2A(1^K + 2^K + ... + n^k) = n . A1^k + n . An^k Colocando A (do lado direito) em evidência: 2A(1^K + 2^K + ... + n^k) = A(n . 1^k + n . n^k) Dividindo ambos os membros da equação acima por 2, temos: A(1^K + 2^K + ... + n^k) = A/2 . (n . 1^k +n . n^k) Usando a propriedade distributiva na parte esquerda da equação: A1^K + A2^K + ... + An^k = A/2 . (n . 1^k + n . n^k) Lembre-se que 1k = 1, Então: A1^K + A2^K + ... + An^k = A/2 . (n + n . n^k) Por fim, usando a propriedade da multiplicação de potência com bases iguais: A1^K + A2^K + ... + An^k = A/2 . [n + n^(k+1)] Usando a propriedade distributiva no lado direito, temos: A1^K + A2^K + ... + An^k = A/2 . n + A/2 . n^(k+1)
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