Question

Me ajudem nessa questão. Minha professora passou e não sabendo fazer.
Mostrar que se < u,v > =0 , para todo vetor v, então u = 0.

Answer 1

Boa tarde.


Notação: || v || é a norma do vetor v, seu comprimento.


Sabemos que:

$\ \textless \ \vec u, \ \vec v\ \textgreater \ = ||\vec u|| \ ||\vec v|| \ \cos(\vec u, \vec v)$

Do enunciado, qualquer que seja o vetor v que escolhamos, o produto interno será nulo. Assim, podemos variar à vontade $||\vec v||$ e $\cos(\vec u, \vec v)$

Os casos em que || v || = 0 e cos(u, v) = 0 não são importantes nesse caso. Vamos analisar quando:

$|| \vec v||\neq 0\ \ \ e \ \ \ \cos(\vec u, \vec v)\neq 0$

Portanto:

$||\vec v|| \ \cos(\vec u, \vec v) \neq 0$


Porém, ainda assim teremos que <u, v> = 0.

Lembremo-nos do produto nulo:

"Se ab = 0, então a = 0 ou b = 0"

Temos, na equação do produto interno:

$\ \textless \ \vec u,\vec v\ \textgreater \ = ||\vec u||\ ||\vec v|| \ \cos(\vec u, \vec v) = 0\\ \\ ||\vec u|| = 0 \ \ \ ou \ \ \ ||\vec v|| \ cos(\vec u, \vec v) = 0$

Porém, vimos anteriormente que:

$||\vec v||cos(\vec u, \vec v) \neq 0$

Portanto, nos resta apenas que:

$||\vec u|| = 0\iff \vec u = \vec 0 \ \ \ \ \ \ \texttt{c.q.d}$