Question

ME AJUDEM NESSA 15PTS!!!!! Sejam x,y ∈ Q. Demonstre que: (3x - y) é um número racional:

Answer 1

Um número racional pode ser escrito em forma de fração, então façamos da seguinte forma :

$\displaystyle \text x \in \mathbb{Q} \ / \ \text x = \frac{\text a}{\text b} \ \to \ \text a \in \mathbb{Z} \ ; \ \text b \in \mathbb{Z}^{*} \\\\\\ \text y \in \mathbb{Q} \ / \ \text y = \frac{\text m}{\text n} \ \to \ \text m\in \mathbb{Z} \ ; \ \text n \in \mathbb{Z}^{*}$

$\displaystyle \text{Demonstre que 3x - y {\'e} um racional}: \\\\\\ \frac{3\text a}{\text b}-\frac{\text m}{\text n} \to \frac{3\text {a.n}-\text{b.m}}{\text {b.n}}$

Numerador :

$3\text {a.n} \in \mathbb{Z} \ , \text{pois o produto de dois inteiros d{\'a} inteiro } \\\\ \text{b.m} \in \mathbb{Z} \ , \text{pois o produto de dois inteiros d{\'a} inteiro } \\\\ \underline{\text{Portanto}}: \\\\( \text{3a.n}-\text{b.m} ) \in \mathbb{Z} \ , \text{Subtra{\c c}{\~a}o de dois inteiros {\'e} um n{\'u}mero inteiro}$

Denominador :

$\text{b.n} \in \mathbb{Z} \ , \text{Produto de inteiros d{\'a} um n{\'u}mero inteiro }$

Portanto :

$\displaystyle \frac{3\text{a.n}-\text{b.m}}{\text{b.n}} \to \in\mathbb{Q}\ , \text{Divis{\~a}o de inteiros d{\'a} um n{\'u}mero racional}\\\\\ \underline{\text{Da{\'i}}}: \\\\\ \huge\boxed{\ 3\text x -\text y \in \mathbb{Q} \ }\checkmark \\\\\\ \text{C.Q.D}$