Question

Me ajudem nas questões 25, 26 e 27 da foto a seguir.

Answer 1

Q.25: Seja tan α = 1/3, com 0° < α < 90°, então, sen α = √10/10

Q.26: Seja sen α = 4/5, com 0° < α < 90°, então, cos α = 3/5

Q.27: Seja cos α = 1/4, com 0° < α < 90°, então tan α = √15

Propriedades Trigonométricas

Inicialmente, observamos que as três questões apresentam o intervalo do ângulo α, entre 0° e 90°. Isto significa que a referência é a um ângulo do primeiro quadrante do círculo trigonométrico. Isto porque, o mesmo seno de um ângulo do primeiro quadrante, coincide com o seno de um ângulo do segundo quadrante; o cosseno de um ângulo do primeiro quadrante coincide com o cosseno do ângulo correspondente do quarto quadrante, e a tangente de um ângulo do primeiro quadrante coincide com a tangente de um ângulo do terceiro quadrante. Portanto, a restrição determina que, nos presentes exercícios, a referência é aos ângulos do primeiro quadrante.

Para a solução dessas questões, usaremos as seguintes propriedades trigonométricas:

1. (sen α)² + (cos α)² = 1
2. tan α = (sen α)/(cos α)

Q.25 Dado que,

tan α = 1/3

a partir da propriedade 2 acima, podemos inferir que,

(sen α)/(cos α)=1/3 (a)

Portanto,

cos α = 3*sen α (b)

Usando a propriedade 1, podemos substituir o valor do cos α, encontrado em (b),

(3*sen α)² + (sen α)² = 1

9*(sen α)² + (sen α)² = 1

10*(sen α)² = 1

(sen α)² = 1/10

sen α = √(1/10)

Fazendo uso de um artifício para simplificar a fração 1/√10, multiplicamos por √10/√10, que vale 1, portanto, não altera o resultado,

sen α = 1/√10 * (√10/√10)  

sen α = √10/10

Q.26 Dado o valor de sen α = 4/5,

Usando a propriedade 1, temos,

(4/5)² + (cos α)² = 1

(cos α)² = 1 - (4/5)²

(cos α)² = 1 - 16/25

Para facilitar a operação com fração, substituímos o 1 por 25/25,

(cos α)² = 25/25 - 16/25

(cos α)² = 9/25

cos α = √(9/25)

cos α = 3/5

Q.27 Dado cos α = 1/4, usando a propriedade 1, temos,

(1/4)² + (sen α)² = 1

(sen α)² = 1 - (1/4)²

(sen α)² = 1 - 1/16

(sen α)² = 16/16 - 1/16

(sen α)² = 15/16

sen α = √(15/16)

sen α = √15/4

Agora que já temos o valor do cos α e o sen α, podemos calcular a tan α, usando a propriedade 2,

tan α = (sen α)/(cos α)

tan α = (√15/4)/(1/4)

tan α = (√15/4)*4

tan α = √15

Saiba mais sobre as propriedades trigonométricas, em: https://brainly.com.br/tarefa/20718887

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