Question

me ajudem nas questões 2,3,4 e 5, urgente!!! para amanhã ​

Answer 1

2. Primeiro calculamos A+2B. Ou seja:

$A + 2 \cdot B = \left[\begin{array}{c}7\\4\end{array}\right] + 2 \cdot \left[\begin{array}{c}5\\-1\end{array}\right]$

Multiplicação de matriz por constante: Multiplica cada termo desta matriz pela constante:

$A + 2 \cdot B = \left[\begin{array}{c}7\\4\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}2 \cdot5\\2 \cdot(-1)\end{array}\right]$

$A + 2 \cdot B = \left[\begin{array}{c}7\\4\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}10\\-2\end{array}\right]$

Agora soma ou subtração de duas matrizes: Soma/subtrai por seu correspondente na mesma posição da outra matriz:

$A + 2 \cdot B = \left[\begin{array}{c}7+10\\4-2\end{array}\right]$

$A + 2 \cdot B = \left[\begin{array}{c}17\\2\end{array}\right]$

Só que o exercício pede a transposta. Na transposta, linha e coluna trocam de posição, assim:

$(A + 2 \cdot B)^T = \left[\begin{array}{cc}17&2\end{array}\right]$

Alternativa C

3. Uma matriz 3x3 genérica é:

$A = \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]$

Os termos i e j se referem ao número da linha e da coluna respectivamente. Por exemplo:

Segunda linha, terceira coluna: i = 2, j = 3, $a_{23}$

O exercício diz que: Quando i e j são diferentes, o termo na matriz é a soma de i + j. Quando i e j são iguais (diagonal principal), o termo vale 1. Então, você pode calcular termo por termo:

1ª linha, 1ª coluna, i = 1, j = 1 (iguais): $a_{11} = 1$

1ª linha, 2ª coluna, i = 1, j = 2 (diferentes): $a_{12} = i+j = 1+2 = 3$

1ª linha, 3ª coluna, i = 1, j = 3 (diferentes): $a_{13} = i+j = 1+3 = 4$

2ª linha, 1ª coluna, i = 2, j = 1 (diferentes): $a_{21} = i+j = 2+1 = 3$

2ª linha, 2ª coluna, i = 2, j = 2 (iguais): $a_{22} = 1$

2ª linha, 3ª coluna, i = 2, j = 3 (diferentes): $a_{23} = i+j = 2+3 = 5$

3ª linha, 1ª coluna, i = 3, j = 1 (diferentes): $a_{31} = i+j = 3+1 = 4$

3ª linha, 2ª coluna, i = 3, j = 2 (diferentes): $a_{32} = i+j = 3+2 = 5$

3ª linha, 3ª coluna, i = 3, j = 3 (iguais): $a_{33} = 1$

Agora, substituimos os termos na matriz genérica:

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&3&4\\3&1&5\\4&5&1\end{array}\right]$

Alternativa B

4. Esse é um sistema linear. Multiplicando as matrizes, você vai ter:

$\left \{ {{x+2 \cdot y=5} \atop {4\cdot x+3 \cdot y=10}} \right.$

Você pode resolver por diferentes métodos. Aqui eu vou usar substituição. Se você isolar x na equação de cima, vai ficar:

$x = 5 - 2 \cdot y$

E agora substituir x por 5 - 2y na equação de baixo:

$4 \cdot (5 - 2 \cdot y) + 3 \cdot y = 10$

Fazendo a multiplicação:

$4 \cdot 5 - 4 \cdot 2 \cdot y + 3 \cdot y = 10$

$20 - 8 \cdot y + 3 \cdot y = 10$

$- 8 \cdot y + 3 \cdot y = 10-20$

$- 5 \cdot y = -10$

$y = \dfrac{-10}{-5}$

$y = 2$

Agora que sabemos y, podemos voltar para a equação:

$x = 5 - 2 \cdot y$

e substituir y por 2:

$x = 5 - 2 \cdot 2$

$x = 5 - 4$

$x = 1$

Ou seja:

$\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right]$

Alternativa D

5. A matriz peça-carro pode ser interpretada como peça/carro. A matriz carro-versão pode ser entendida como carro/versão. Se multiplicarmos as duas:

$\dfrac{\text{peca}}{\text{carro}} \cdot \dfrac{\text{carro}}{\text{versao}} = \dfrac{peca}{versao}$

Que é a matriz que estamos procurando. Então basta multiplicar as matrizes:

$\left[\begin{array}{cc}4&3\\3&5\\6&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&4&3\\3&2&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}(4 \cdot 2 + 3 \cdot 3)&(4\cdot4+3\cdot 2)&(4\cdot3 + 3\cdot5)\\(3 \cdot 2 + 5 \cdot 3)&(3\cdot4+5\cdot 2)&(3\cdot3 + 5\cdot5)\\(6 \cdot 2 + 2 \cdot 3)&(6\cdot4+2\cdot 2)&(6\cdot3 + 2\cdot5)\end{array}\right]$

Que vai dar:

$\left[\begin{array}{ccc}17&22&27\\21&22&34\\18&28&28\end{array}\right]$

Alternativa B