Question

(Me ajudem na resolução) Se tg= 1/2 e a ∈ [0, $\pi$ /2, então, cosa é igual a:
a)√3/2 b)√6/2 c)√6/3 d)2√5/2 e)√5/2

Answer 1

Olá,

$tg\ \alpha = \frac{sen\ \alpha }{cos\ \alpha } \\\\ \frac{1}{2} = \frac{sen\ \alpha }{cos\ \alpha } \\ \\ sen\ \alpha = \frac{cos\ \alpha }{2}$

Substituindo sen α na Relação fundamental da trigonometria:

$sen^2 \alpha +cos^2 \alpha =1\\\\ (\frac{cos\ \alpha }{2})^2 +cos^2 \alpha =1\\\\ \frac{cos^2\alpha }{4}+cos^2 \alpha=1\\\\ \frac{cos^2\alpha +4cos^2\alpha }{4}=1\\\\ 5cos^2 \alpha =4\\\\ cos^2 \alpha = \frac{4}{5} \\\\ \boxed{cos \ \alpha = \sqrt{ \frac{4}{5} } = \frac{2}{ \sqrt{5} } = \boxed{\frac{ 2\sqrt{5} }{5} }}$

Pelo intervalo [0,π/2] sabemos que α pertence ao 1º quadrante, onde o cosseno é positivo, então :$\boxed{cos\ \alpha =\boxed{\frac{ 2\sqrt{5} }{5} }}}$

Alternativa d) 

Espero ter ajudado.

Answer 2

A partir de identidades trigonométricas vemos que cos α = 2√5/5. Infelizmente nenhuma das alternativas traz o resultado correto.

Identidades trigonométricas

Para resolvermos esse problema precisamos de duas identidades trigonométricas. A definição da tangente a partir do seno e do cosseno:

tg x = sen x / cos x

e a identidade fundamental da trigonometria:

sen² x + cos² x = 1

Aplicamos a primeira identidade:

tg α = 1/2 = sen α / cos α

Multiplicando de forma cruzada temos:

cos α = 2 sen α

Agora aplicamos a segunda identidade:

sen² α + cos² α = 1

sen² α + (2 sen α)² = 1

sen² α + 4 sen² α = 1

5 sen² α = 1

sen² α = 1/5

sen α = √(1/5)

sen α = 1/√5

cos α = 2 · 1/√5

cos α = 2/√5

Para padronizarmos a escrita de frações, não podemos ter raiz no denominador. Eliminamos essa raiz racionalizando a fração, multiplicando por 1 = √5/√5.

$\frac2{\sqrt5} = \frac2{\sqrt5} \cdot \frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}$

Veja mais sobre identidades trigonométricas em:

https://brainly.com.br/tarefa/20790118

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