Question

me ajudem!! geometria analítica
dados os vetores u=(3,1,1), v=(-4,1,3) e w=(1,2,0), determinar x (vetor) de modo que x seja perpendicular a w e x produto u= v.
resposta: não existe x (vetor) porque u não é ortogonal a v.

Answer 1

Seja x um vetor de lR³

Se x é ortogonal a w, sabemos que o produto interno de x e w é zero:

$\vec{x}\cdot\vec{w}=0~~~\therefore~~~(x,y,z)\cdot(1,2,0)=0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x+2y=0}}$

Queremos que o produto vetorial de x e u seja igual a v, mas, pela definição, o produto vetorial entre dois vetores é ortogonal aos 2 vetores, ou seja:

O produto vetorial entre a e b é denominado por a x b e

$\vec{a}\cdot(\vec{a}~x~\vec{b})=0\\\vec{b}\cdot(\vec{a}~x~\vec{b})=0$

Queremos x x u = v, mas, por definição, teríamos

$\vec{u}\cdot(\vec{x}~x~\vec{u})=\vec{u}\cdot\vec{v}=0$

Mas isso não ocorre, já que

$\vec{u}\cdot\vec{v}=(3,1,1)\cdot(-4,1,3)=-12+1+3\neq0$

Logo, com os vetores u e v dados, não é possível encontrar um vetor x tal que o produto vetorial de x com u seja v, já que, por definição, v teria que ser mutuamente ortogonal a x e a u (e v não é ortogonal a u)