Question

Me ajudem gente! Eu imploro por tudo!

Answer 1

Resposta:

864

Explicação passo a passo:

Vamos chamar de p o total de páginas do livro.

No primeiro dia, a mãe terminou a leitura na página $\frac{1}{32}.p$

No segundo dia, a mãe terminou a leitura na página $\frac{1}{12}.p$

O enunciado disse ainda que as últimas páginas de ambos os dias possuem dois algarismos e que são iguais.

Então, por exemplo, se no primeiro dia a mãe terminou a leitura na página 25, no segundo dia terá parado a leitura na página 52.

Vamos chamar um algarismo de x e o segundo de y.

No primeiro dia, o número da última página tem a forma: 10x + y

Aqui, x está nas dezenas e y nas unidades.

No segundo dia, o número última página tem a forma: 10y + x

Aqui y está nas dezenas e x nas unidades.

Note que x e y devem ser números inteiros, positivos, diferentes e  entre 1 e 9 (não podem ser zero senão uma das páginas teria apenas um algarismo, já que zero à esquerda não é significativo)

Com base nisso, podemos fazer as seguintes igualdades:

$\frac{1}{32}.p = 10x + y\\\\\frac{1}{12}.p = 10y + x$

Vamos isolar o y na primeira equação, substituir na segunda e simplificar ao máximo:

$y = \frac{1}{32}p - 10x \\\\\frac{1}{12}p = 10(\frac{1}{32}p - 10x) + x \\\\\frac{1}{12}p = \frac{10}{32}p - 100x + x \\\\\frac{1}{12}p = \frac{10}{32}p - 99x \ (multiplica \ toda \ a \ equacao \ por \ 96) \\\\8p = 30p - 9504x \\\\22p = 9504x \\\\p = 432x$

Com base nessa relação, sabendo que x é um inteiro entre 1 e 9, podemos testar os valores para achar o p e y correspondentes e ver em qual opção atende todas as exigências.

É de se esperar que achemos apenas uma possibilidade, do contrário o problema não teria apenas uma solução.

Para x = 1, por exemplo, temos que

$x = 1\\p = 432.1\\\\y = \frac{1}{32}p-10.x\\y = \frac{1}{32}.432 - 10.1\\\\y = 3,5$

Porém esse resultado não pode ser a resposta, pois y precisa ser um inteiro entre 1 e 9, e 3,5 não é inteiro. Com base nisso, vamos continuar as tentativas fazendo x até 9.

$\begin{array}{c|c|cc}\boxed{x}&\boxed{p}&\boxed{y}\\1&432&3,5&(nao \ inteiro)\\\bold{2}&\bold{864}&\bold{7}& (ok)\\3&1296&10,5&(nao \ inteiro \ e > 9)\\...&...&...\end{array}$

Se você continuar montando os outros x até 9 verá que todos resultam em casos de y não inteiro ou > 9.

Então a única opção viável é x = 2, que significa 864 páginas.

No primeiro dia a mãe leu até a página 27 e no segundo até a 72.