Question

Me ajudem... Essa série é convergente ou divergente??? justifique sua resposta.​ ​

Answer 1

Resposta:

convergente

Explicação passo-a-passo:

Análise matemática I

Tópico : Série numérica

Olá , vou cá apresentar uma regrinha para julgar a ou não convergência de uma série numérica ( TEOREMA DO D'ALEMBERT ).

• Suponhamos que para o termo geral $\sf{y_{n}}$ da série $\displaystyle\sum\limits^{\infty}_{n=1}\sf{y_{n}}$ , $\sf{y_{n}>0~\left(n~=~1,2,\dots\right) }$ se cumpre a igualdade:

$~~~~~~\displaystyle\lim\sf{\dfrac{y_{n+1}}{y_{n}}~=~\lambda }$

Então :

1) se $\sf{ \lambda < 1 }$ a série é convergente

2) se $\sf{ \lambda > 1}$ a série é divergente

3) se $\sf{ \lambda = 0 }$ nada se pode dizer sobre a convergência da série .

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No enunciado temos que estudar a convergência de $\displaystyle\sum\limits^{\infty}_{n~=~1}\sf{y_{n}}$ , onde $\sf{y_{n}~=~\dfrac{1}{3+3^n}}$

$\iff \boxed{\boxed{\green{\displaystyle\sum\limits^{\infty}_{n=1}\sf{\dfrac{1}{3+3^n}} } } }$

Vamos calcular $\displaystyle\lim\sf{\dfrac{y_{n+1}}{y_{n}} }$

$\displaystyle\lim\sf{\dfrac{y_{n+1}}{y_{n}}} ~=~\displaystyle\lim\sf{\left[\dfrac{\frac{1}{3+3^{n+1}}}{\frac{1}{3+3^n}}\right]}$

$~~=\displaystyle\lim\sf{\left[\dfrac{3+3^n}{3+3^{n+1}}\right]}$

Vamos dividir o numerador e o denominador por 3ⁿ :

$~~=\displaystyle\lim\sf{\left[\dfrac{3/3^n+1}{3/3^n+3}\right]}$

$\sf{~~~=~\dfrac{0+1}{0+3}~=~\dfrac{1}{3}<1 }$

vejamos que o resultado do limite é menor que 1 , logo a série é convergente .

This answer was elaborad by:

Murrima, Joaquim Marcelo

UEM(Moçambique)-DMI