Question

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Em uma competição esportiva, 81 atletas iniciaram a prova; no final de cada fase, 2/3 dos competidores foram eliminados. Quantas fases teve a competição até chegar ao vencedor?

Obrigado.

Answer 1

Na primeira fase, 2/3 dos candidatos foram eliminados. Isso corresponde a:
2/3 de 81 = ?
$\frac{2.81}{3}$ = 54
Na primeira fase foram eliminados 54 candidatos, restando apenas 27.
Na segunda fase:
2/3 de 27 = ?
$\frac{2.27}{3}$ = 18
Na segunda fase foram eliminados 18 candidatos, restando 9.
Na terceira fase:
2/3 de 9 = ?
$\frac{2.9}{3}$ = 6
Na terceira fase foram eliminados 6 candidatos, restando 3.
Na quarta fase:
2/3 de 3 = ?
$\frac{2.3}{3}$ = 2
Na quarta fase foram eliminados 2 candidatos, restando o vencedor. 
Portanto foram 4 fases.
Outro método de resolução é observar que os candidatos formam uma PG de razão constante. Da primeira fase, o número de candidatos reduziu para 21, o que representa 1/3 do valor anterior (81). Como a redução é constante, podemos tirar que:
81.$3^{-x}$ = qualquer termo da PG.
Como o valor final é 1, substituimos na relação acima:
81.$3^{-x}$ = 1
Como 81 = $3^{4}$ e 1 pode ser = $3^{0}$
O valor de $3^{-x} + 3^{4}$ tem de resultar em $3^{0}$. Para isso, x=4 pois $3^{-4} = \frac{1}{81}$ pois se multiplicado por $3^{4}$, dará 1. Então são 4 fases.