Question

Me ajudem é sobre ponto reta e circunferência

Answer 1

Resposta:

1 - a) 9   b) 6  c) 13

2- a) M(9/2 , -9/2)     b) M(7/6 , 7/6)

3 - Não são colineares

4- Eq. Geral: x - 5y + 2 = 0   Eq. Reduzida: y = 2/5 + x/5

5 - m = 5/7

Explicação passo-a-passo:

Para resolver a questão 1, basta aplicarmos as coordenadas dos pontos A e B na fórmula de distância entre pontos, como mostra a resolução abaixo:

1 -

a) A( - 2, 7)   B(7,7)

dAB² = (yb - ya)² + (xb - xa)²

dAB² = (7-7)² + (7 - [-2])²

dAB² = 81

dAB = √81 = 9

b) A(- 2, - 2)  B(- 2, 4)

dAB² = (4 - [-2])² + (- 2 - [- 2])²

dAB² = 36

dAB = √36 = 6

c) A(7, - 6)  B(2, 6)

dAB² = (6 - [- 6])² + (2 - 7)²

dAB² = 144 + 25

dAB = √169 = 13        

Para encontrarmos as coordenadas do ponto médio, basta aplicarmos os valores das coordenadas dos pontos na fórmula, como mostra abaixo:

2 -

a) A(5, - 2)  B(4 - 7)

$Mab = (\frac{xa + xb}{2}) , (\frac{ya + yb}{2} )$

$Mab = (\frac{5 + 4}{2}) , (\frac{- 2 - 7}{2} )$

$Mab = \frac{9}{2} , \frac{- 9}{2}$

b) A(-2/3 , 4)  B(3 , -5/3)

$Mab = (\frac{\frac{-2}{3} + 3 }{2} ) , (\frac{4 - \frac{5}{3} }{2} )$

Mab = 7/6, 7/6

3 -

Para verificar se os pontos são colineares, basta calcular a determinante da matriz 3 x 3 que contenha os pontos A, B e C igualando seu valor a 0, como na forma abaixo:

                         $\left[\begin{array}{ccc}xA&yA&1\\xB&yB&1\\xC&yC&1\end{array}\right]$

Substituindo os pontos, temos:

                             $\left[\begin{array}{ccc}1&-3&1\\4&5&1\\2&3&1\end{array}\right]$

Calculando a determinante acima, pelo regra de Sarrus, temos:

                    ║-10 - 3 + 12 + 5 - 6 + 12║ = 0

                          10 = 0

Sabemos que 10 não é igual a 0 como afirma acima, então, os pontos A B e C não são colineares.

4 -

A( - 3, - 1)    B(0, 5)       C(1 , -2)

Para calcular a área do triângulo, basta calcular a determinante da matriz 3x3 que possui as coordenadas dos pontos A, B e C, e multiplicar o seu valor por 1/2. Sendo assim, temos:

      $A = \left[\begin{array}{ccc}xA&yA&1\\xB&yB&1\\xC&yC&1\end{array}\right]  \\\\\\A = \left[\begin{array}{ccc}-3&-1&1\\0&5&1\\1&-2&1\end{array}\right]$

Fazendo o cálculo utilizando a regra de Sarrus, temos:

       AΔ = 1/2 . ║-5 - 6 - 15 - 1║

       AΔ = 1/2 . 27

       AΔ = 13,5

5 -

A(3, 1)  B(- 2 ,0)  P(x , y)

A questão nos dá os pontos A e B. Porém, nos basearemos também em um determinado ponto P de coordenadas desconhecidas (x, y). Estes 3 pontos (A, B e P) pertencem a reta. Então, podemos calcular a determinante da matriz que inclua estes três pontos. Sendo assim, temos:

                 $\left[\begin{array}{ccc}xA&yA&1\\xB&yB&1\\xP&yP&1\end{array}\right] = 0\\\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\-2&0&1\\x&y&1\end{array}\right] = 0$

Calculando a determinante desta matriz utilizando a regra de Sarrus, encontramos a equação geral da reta que possui os pontos A, B e P, que é:

                     x - 5y + 2 = 0

Para encontrarmos a sua forma reduzida, basta colocarmos a equação geral da reta em função de y. Sendo assim, temos:

                    x - 5y + 2 = 0

                    - 5y = - 2 - x

                     y = 2/5 + x/5

5 -

A(-3 , 2)    B(4, 7)

Sabemos que a equação reduzida da reta, é dada pela seguinte forma:

                           y = ax + b

onde x e y são coordenadas de um ponto que pertence a reta, a = coeficiente angular da reta, e b = coeficiente linear. Se substituirmos os pontos A e B na equação reduzida, temos:

          2 = a . (- 3) + b                7 = a . 4 + b

          - 3a + b = 2                       4a + b = 7

Encontramos duas equações, que possuem o a e o b como incógnitas. Como essas equações representam pontos que pertencem a mesma reta, podemos colocar elas em um sistema de equações, para encontrarmos os valores de a e b. Sendo assim, temos:

                          $\left \{ {{4a + b = 7} \atop {-3a + b = 2}} \right.$

Resolvendo este sistema pelo método da substituição, deduzimos que o valor de b tomando como base a equação de cima, é:

                      b = 7 - 4a

Substituindo b na equação de baixo, temos:

                  -3a + b = 2

                  -3a + 7 - 4a = 2

                         a = 5/7

Então, sabemos que o coeficiente angular (a) desta reta vale 5/7, ou seja, m = 5/7. Seguindo os princípios da geometria analítica, tgx = m, logo,

                             tgx = 5/7