Question

me ajudem é pra amanhã e vale nota por favor​

Answer 1

A área de um triângulo na geometria analítica é expressa por:

$\boxed{A = \frac{1}{2} |D|}$

No qual D é o módulo do determinante dos vértices do triângulo. O determinante dos vértices do triângulo é expresso por:

$D = \left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]  \Rightarrow D = \left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1 \ \ x_1 \ \ y_1\\x_2&y_2&1 \ \ x_2 \ \ y_2\\x_3&y_3&1 \ \ x_3 \ \ y_3\end{array}\right]$

Pontos que a questão dá:

$A(3, 9) \rightarrow (x_1, y_1) \\ B(1, K) \rightarrow (x_2,y_2) \\ C(5, 11) \rightarrow (x_3,y_3)$

Existe alguns métodos para achar o determinante de uma matriz, mas estarei fazendo pelo método de Sarrus.

Achando o determinante:

$D = \left[\begin{array}{ccc}3&9&1\\1&K&1\\5&11&1\end{array}\right] \\ D = 3*K*1 + 9*1*5 + 1*1*11 - 5*K*1- 11*1*3 - 1*1*9 \\ D = 3K + 45 + 11 -5K -33 -9 \\ D =  -2K + 56-42 \\ \boxed{D = -2K+14} \\ \boxed{|D| = 2K + 14}$

Achando o determinante, podemos partir para achar o valor de K, já que a área nos foi dada.

A = 4 u.a

$A = \frac{1}{2} |D| \\ 4 = \frac{1}{2}*2K+14 \\ 4 = \frac{1}{2}*2(K + 7) \\ 4 = K+7 \\ K = 4 - 7 \\ \boxed{ K = -3}$

Logo, o valor de K é igual a -3, alternativa letra C).