Question

Me ajudem dou 5 estrelas!
Estou estudando para uma prova de recuperação, e nem sei como faço essa pergunta!

Data a circunferência de equação x2 + y2 - 6x 4y - 5=0, determine a posição relativa da reta y= x+1, em relação a circunferência. ?​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para saber qual a posição relativa de uma reta em relação a uma circunferência, devemos calcular a distância de um ponto qualquer da reta com o centro da circunferência. Se essa distância for menor que o raio r, então a reta será secante à circunferência; se a distância for igual a r, então a reta será tangente à circunferência; se a distância for maior que r, então a reta será externa à circunferência.

Passo 1: completar quadrados na equação da circunferência para encontrar o centro C e o raio r.

x^2 + y^2 - 6x - 4y - 5 = 0

x^2 - 6x + 9 - 9 + y^2 - 4y + 4 - 4 - 5 = 0

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 18

$(x - 3) ^{2} + (y - 2) ^{2} = ( \sqrt{18} ) ^{2}$

Assim, C(3, 2) e

$r = \sqrt{18}$

Passo 2: Escolha de um ponto qualquer da reta y = x + 1

Para x = 0 => y = 0 + 1 => y = 1, assim temos o ponto A(0, 1)

Passo 3: cálculo da distância de A a C:

$d(ac) = \sqrt{( x_{c} - x_{a})^{2} + ( y_{c} - y_{a}) ^{2} } = > d(ac) = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (2 - 1) ^{2} } = > d(ac) = \sqrt{9 + 1} = > d(ac) = \sqrt{10}$

Como

$\sqrt{10} < \sqrt{18} = r$

Então a reta y = x + 1 é secante à circunferência

Agora, se o 4 da equação da circunferência é acompanhado de sinal positivo, teremos o centro C(3, -2), e neste caso teremos

$d(ac) = \sqrt{18}$

E, consequentemente y = x + 1 será tangente à circunferência representada pela equação da questão