Question

Me ajudem com o calculo passo a passo, a resposta é: 5/2

$\lim_{x \to1} \frac{\sqrt[2]{5x+4}-3}{\sqrt[3]{x-2}+1 }$ Quero saber como multiplicar essas raízes com o conjugado...

Answer 1

Basta multiplicar e dividir pelo conjugado do numerador e do denominador, onde no denominador nós usamos o cubo da soma que é dado por

${a}^{3} + {b}^{3} = (a + b)( {a}^{2} - ab + {b}^{2} )$

Ou seja, temos:

$\displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt[2]{5x+4}-3}{\sqrt[3]{x-2}+1 } \\ = \displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt[2]{5x+4}-3}{\sqrt[3]{x-2}+1 } \cdot \frac{\sqrt[2]{5x+4} + 3}{\sqrt[2]{5x+4} + 3} \cdot \frac{(( \sqrt[3]{x - 2} )^{2} - \sqrt[3]{x - 2} + {1}^{2} ) }{(( \sqrt[3]{x - 2} )^{2} - \sqrt[3]{x - 2} + {1}^{2})} \\ = \displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt[2]{5x+4})^{2} -9}{(\sqrt[3]{x-2})^{3} + {1}^{3} } \cdot \frac{(( \sqrt[3]{x - 2} )^{2} - \sqrt[3]{x - 2} + {1}^{2} )}{\sqrt[2]{5x+4} + 3} \\ = \displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{5x + 4 -9}{x - 2+ 1 } \cdot \frac{(( \sqrt[3]{x - 2} )^{2} - \sqrt[3]{x - 2} + {1}^{2} )}{\sqrt[2]{5x+4} + 3} \\ = \displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{5x - 5}{x - 1 } \cdot \frac{(( \sqrt[3]{x - 2} )^{2} - \sqrt[3]{x - 2} + {1}^{2} )}{\sqrt[2]{5x+4} + 3} \\ = \displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{5(x - 1)}{(x - 1 )} \cdot \frac{(( \sqrt[3]{x - 2} )^{2} - \sqrt[3]{x - 2} + {1}^{2} )}{\sqrt[2]{5x+4} + 3} \\ = \displaystyle\lim_{x\to 1} 5 \cdot \frac{(( \sqrt[3]{x - 2} )^{2} - \sqrt[3]{x - 2} + {1}^{2} )}{\sqrt[2]{5x+4} + 3} \\ = 5 \cdot \frac{(( \sqrt[3]{1 - 2} )^{2} - \sqrt[3]{1- 2} + {1}^{2} )}{\sqrt[2]{5+4} + 3} \\ = 5 \cdot \frac{(( \sqrt[3]{ - 1} )^{2} - \sqrt[3]{ - 1} + {1}^{2} )}{\sqrt[2]{9} + 3} \\ = 5 \cdot \frac{(( 1 + 1+ 1 )}{3+ 3} = 5 \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{2}$