Question

Me ajudem com esse calculo de área !


Encontre a are da região limitada pelas curvas : Y= X - 2 e Y² = 7 - 2X

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos encontrar a área da região limitada pelas curvas $y=x-2$ e $y^2=7-2x$.

Primeiro, lembre-se que a área da região $R$ delimitada por duas curvas $y=f(x)$ e $y=g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$ é calculado pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Então, devemos determinar o comportamento destas funções, calculando o intervalo em que a região está compreendida, fazendo:

Substitua $y=x-2$ em $y^2=7-2x$, de modo a calcular os pontos de interseção das curvas

$(x-2)^2=7-2x$

Calcule a potência

$x^2-4x+4=7-2x$

Subtraia $7-2x$ em ambos os lados da igualdade e some os termos semelhantes

$x^2-2x-3=0$

Resolvendo esta equação quadrática, facilmente encontramos suas soluções:

$x=-1~~\bold{ou}~~x=3$

Dessa forma, o intervalo em que esta região está comprometida é $[-1,~3]$.

Veja na imagem em anexo que, neste intervalo, a reta que representa a função $y=x-2$ tem imagem maior que a parábola que representa $y^2=7-2x$.

Mais especificamente, a porção negativa da parábola. Veja que podemos calcular a raiz quadrada em ambos os lados de forma que tenhamos:

$\sqrt{y^2}=\sqrt{7-2x}\\\\\\ y=\pm~\sqrt{7-2x}$

A porção superior da parábola representa as soluções positivas dessa igualdade, enquanto a porção inferior, que nos interessa, representa a parte negativa.

Sendo assim, substituímos estes dados na integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^3 x-2-(-\sqrt{7-2x})\,dx}$

Efetue a propriedade de sinais

$\displaystyle{\int_{-1}^3 x-2+\sqrt{7-2x}\,dx}$

Para resolver esta integral, lembre-se:

• A integral é um operador linear, logo vale que $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$, em que $c$ é uma constante.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$, é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int_{-1}^3 x\,dx-2\cdot\int_{-1}^31\,dx+\int_{-1}^3\sqrt{7-2x}\,dx}$

Na terceira integral, faça uma mudança de variáveis por substituição: $u=7-2x$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade a fim de substituírmos também o diferencial $dx$.

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(7-2x)$

Lembrando das regras de derivação, aplique a regra da cadeia e da potência

$1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=0-2\cdot 1\cdot x^{1-1}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$\dfrac{du}{dx}=-2$

Reescrevemos a expressão da seguinte maneira:

$dx=-\dfrac{du}{2}$

Quando realizamos uma mudança de variáveis, também alteramos os limites de integração. Veja que quando $x=-1\rightarrow u=9$ e quando $x=3\rightarrow u=1$. Assim, substituímos esses resultados na integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^3 x\,dx-2\cdot\int_{-1}^31\,dx+\int_{9}^1\sqrt{u}\cdot\left(-\dfrac{du}{2}\right)}$

Aplique a linearidade e a regra da potência, lembrando que $\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$ e $1=x^0$

$\displaystyle{\int_{-1}^3 x\,dx-2\cdot\int_{-1}^31\,dx-\dfrac{1}{2}\cdot\int_{9}^1\sqrt{u}\,du}\\\\\\ \dfrac{x^{1+1}}{1+1}-2\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^3-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}~\biggr|_{9}^1$

Some os valores nos expoentes e denominadores e aplique os limites de integração

$\dfrac{x^2}{2}-2x~\biggr|_{-1}^3-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}~\biggr|_{9}^1\\\\\\ \dfrac{x^2}{2}-2x~\biggr|_{-1}^3-\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{3}~\biggr|_{9}^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{3^2}{2}-2\cdot3-\left(\dfrac{(-1)^2}{2}-2\cdot(-1)\right)-\left(\dfrac{1^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{9^{\frac{3}{2}}}{3}\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$\dfrac{9}{2}-6-\left(\dfrac{1}{2}+2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-9\right)\\\\\\ \dfrac{9}{2}-6-\dfrac{1}{2}-2-\dfrac{1}{3}+9\\\\\\\dfrac{14}{3}~\bold{u.~a}~~ \checkmark$

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas.