Question

me ajudem com essa questão sobre derivada. não estou conseguindo fazer.

45. Maximizando Lucros A gerência da Trappee
and Sons, produtores do famoso molho de pimenta TexaPep, estimam que o lucro obtido (emdólares) com a produção diária e a venda de x engradados (cada um com 24 garrafas) de
molho de pimenta é dado por
P(x) = -0,000002x^3 + 6x - 400

Qual é o maior lucro possível para a Trappe e em 1 dia?​

Answer 1

Resposta:

3600

Explicação passo-a-passo:

Primeiro, sua pergunta está como ensino fundamental (básica) mas ela é de nível superior!

Resolvendo a questão:

Para o estudo de máximos e mínimos de uma função, sempre estudamos o sinal da derivada dela, no caso temos a função lucro (P(x)) em função de engradados (x).

Logo, primeiro derivamos:

$P(x)=-0,000002.x^3+6x-400\\P'(x)=3.(-0,000002.x^2)+6$

Agora, faremos o estudo de sinal da função P'(x), função quadrática.

Primeiro de tudo, temos que achar as raízes, igualando a zero:

$3.(-0,000002.x^2)+6=0\\-0,000006.x^2+6=0\\0,000006.x^2=6\\6.10^{-6}.x^2=6\\10^{-6}.x^2=1\\x^2=10^6\\x= \pm 10^3=\pm 1000$

Sabemos também que a parábola tem sua concavidade negativa, pois o termo multiplicando x^2 é negativo.

Olhando o gráfico em anexo, temos o gráfico de P'(x).

Lembrando que temos restrições com o valores de x, pois ele representa um número de engradados, logo nunca será negativo. Assim, avaliando para x>0, vemos que no 1000, há uma troca de sinal da derivada (ela sai de positiva para negativa). Isso significa que antes de 1000, P(x) cresce e depois começa a decrescer, logo em x=1000 temos um ponto de máximo.

Cuidado para não dar a resposta como 1000, pois ele não quer o número de engradados e sim o valor do lucro, logo ele quer P(1000):

$P(1000)=-2.10^{-6}.(10^3)^3+6.10^3-400\\P(1000)=-2.10^{-6}.10^9+6.10^3-400\\P(1000)=-2.10^3+6.10^3-400\\P(1000)=4.10^3-400\\P(1000)=4000-400\\P(1000)=3600$