Question

Me ajudem até amanhã !!

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Oi,

Não vou explicar de onde isso vem, mas é fato de que podemos escrever um número complexo da seguinte forma:

$z = p {e}^{ix}$

Onde p, é o módulo, ou ainda, a distancia, entre a origem do plano complexo até o ponto z.

O x, é o ângulo formado entre o eixo real e p. (Em radianos)

E o "e" É o próprio número de euler.

Uma vantagem de escrever os números complexos assim, é que é extremamente fácil de fazer potência de algo dessa forma.

Como temos que p = 1 no nosso exercício. Então z fica:

$z \: = {e}^{i \frac{37}{6}\pi }$

Então:

${z}^{2019} = { {e}^{i \frac{37}{6} \pi} }^{2019} = {e}^{2019 \times \frac{37}{6}i\pi } = {e}^{ \frac{24901}{2} i\pi}$

Porém, agora observe que chegamos a um número complexo quase igual ao que tínhamos antes, porém, agora o x vale aquele 24901 vezes pi dividido por 2.

Assim, podemos voltar para o formato que tínhamos antes:

${z}^{2019} = \cos( \frac{24901\pi}{2} ) + i \sin( \frac{24901\pi}{2} )$

Que se você reduzir os arcos, e fizer as contas chegará em:

${z}^{2019} = \cos( \frac{\pi}{2} ) + i \sin( \frac{\pi}{2} ) = 0 + i \times 1 = i$

E temos o resultado.

O que percebemos com isso? Que quase tudo que eu fiz é inútil, fiz apenas para explicar o porquê você chega no mesmo resultado, mas na prática, basta multiplicar a potência que você quer dentro dos ângulos do seno e cosseno do número, independendo de p. Isso aparece as vezes como fórmula de De Moivre, mas eu sempre achei mais fácil de lembrar o e^ix, de qualquer forma, ambas são a mesma coisa, apenas escritas de formas diferentes.

* Eu acho que fiz todas as contas certinhas, mas de qualquer forma de uma revisada. Se tiver algo errado, avise que volto e edito =)