Question

Me ajudem ai por favor, materia: cálculo diferencial e integral

Answer 1

1) Essa questão é relativamente simples, para resolver basta desenhar um plano cartesiano, atribuir valores para "x" e encontrar para "y". Tenha atenção aos intervalos, por exemplo, se x< -1 a função será 1/x², já se x=1 o valor de y será 3. Veja na imagem como ficou o gráfico:

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2)  a) $\lim_{x \to 1^+}\frac{2\sqrt{x} -2}{x^2-2x+1}$

O x se aproxima de '1' pela direita (sentido direita para esquerda), dessa forma o valor do denominador do limite se aproximará de 0 cada vez mais, e o numerador se aproximará cada vez mais de -2 (uma constante = k). Lembre-se de que a raiz de um número muito próximo a 0 é também muito próxima a 0.

Assim, ficaremos com: -2/0+, ou seja, uma constante dividido por um valor muito próximo a 0 (pelo lado positivo), resultando em + infinito

$\lim_{x \to 1^+}\frac{2\sqrt{x} -2}{x^2-2x+1} = +\infty$

   b) Podemos reescrever esse limite, fatorando o numerador e denominador.

OBS:  

a² - b² = (a-b).(a+b)

a² - 2ab + b² = (a-b)²

$\lim_{x \to 2^+}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} \\\\ \lim_{x \to 2^+}\frac{(x-2).(x+2)}{(x-2)^2}\\\\ \lim_{x \to 2^+}\frac{x+2}{x-2}\\\\ \lim_{x \to 2^+}\frac{4^+}{0^+} = \frac{k}{0^+}= +\infty$

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3) Na funçao f(x), quando x ≠ 0, ao analisarmos valores maiores que 0 e menores que 0, vemos que os únicos valores possíveis para x são:

- 1 ≤ x ≤ 1  

(Isso porque se x estiver fora desse intervalo, no denominador ocorrerá uma raiz de um número negativo)

$\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{1+x}~-~\sqrt{1-x}}$

Devemos racionalizar essa raiz do denominador.

Para isso, lembre-se de que:

$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b} } =\frac{1.(\sqrt{a} +\sqrt{b}) }{a-b}$

$\frac{x.(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{(1+x)-(1-x)} =\frac{x.(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} )}{1+x-1+x} = \frac{x.(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} )}{2x} = \frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} )}{2}$

$\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} )}{2} = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{1} }{2} = \frac{1+1}{2} =\frac{2}{2}= 1$

Ou seja, o valor de k é 1

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4) A questão pede que calculemos as assíntotas horizontais e verticais.

Devemos ter em mente que a assintotas verticais existem quando o limite da função é + ou - infinito e a assíntota horizontal é quando o x tende ao infinito (+ ou - infinito).

Assíntota vertical: numerador deve ser uma constante "K" e o denominador deve ser 0+ (o mais próximo de 0 possível)

(-2x+1)³ = 0

-2x + 1 = 0

-2x = -1

x = 1/2 (esse é o valor da assíntota vertical)

A horizontal, acharemos quando o x tender a + infinito ou - infinito. Nesse caso específico, não conseguimos retirar a indeterminação (infinito/infinito), porém existe uma regra prática VÁLIDO SOMENTE PARA FUNÇÕES RACIONAIS que afirma:

"Se o grau do denominador for maior que o grau do numerador, a assintota horizontal vale: y=0"

Dessa forma, a assíntota horizontal é y=0.

Obs: Imagem abaixo é referente à questão 1.