Question

Me ajudem aí galera! 15 PONTOS

O cálculo da integral tripla pode ser aplicado a diversos casos, dentre os quais pode-se destacar cálculo de volume, de massa, de centro de gravidade. Para casos em que uma determinada região é delimitada por equação e possível calcular o volume dessa região por meio da integral tripla.
Considere uma região R = [0,4] x [2,4] x [1,5], com base nessa região é correto afirma que:


Escolha uma:


a. o volume delimitado pela região é 42 u.v.

b. o volume delimitado pela região é 80 u.v.

c. o volume delimitado pela região é 30 u.v.

d. o volume delimitado pela região é 32 u.v

e. o volume delimitado pela região é 40 u.v.

Answer 1

Seja $D$ um sólido limitado no espaço $R^{3}.$ O volume de $D$ é definido como

$\text{Volume}(D)=\iiint\limits_{D}{1\,d\mathbf{V}}$


Basta integrarmos a função constante igual a $1$ sobre o sólido.

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Para esta questão, o sólido de integração $R$ é um paralelepípedo reto-retângulo:

$R=[0,\;4]\times[2,\;4]\times[1,\;5]$


Em outras palavras, $R$ é o seguinte conjunto de pontos:

$R=\left\{(x,\;y,\;z) \in \mathbb{R}^{3} \left|\;0\leq x\leq 4;\;2\leq y\leq 4;\;1\leq z\leq 5\right.\right \}$


$\bullet\;\;$ Como o sólido é um paralelepípedo reto-retângulo, todos os extremos de integração são constantes para as três variáveis. Portanto, a ordem de integração é irrelevante.

Vou escolher arbitrariamente a ordem $dz\,dy\,dx.$

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O volume do paralelepípedo é

$\text{Volume}(R)=\displaystyle\iiint\limits_{~~~~R}{1\,d\mathbf{V}}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{2}^{4}\int\limits_{1}^{5}{1\,dz\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{2}^{4}{z|_{1}^{5}\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{2}^{4}{(5-1)\,dy\,dx}$
$=\displaystyle\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{2}^{4}{4\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{2}^{4}{4y|_{2}^{4}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{2}^{4}{4\cdot (4-2)\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{2}^{4}{4\cdot 2\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{2}^{4}{8\,dx}\\ \\ \\ =8x|_{0}^{4}\\ \\ =8\cdot (4-0)\\ \\ =8\cdot 4\\ \\ =32\text{ u.v.}$


Resposta: alternativa $\text{d) O volume determinado pela regi\~{a}o \'{e} }32\text{ u.v.}$