Question

Me ajudem a responder essa questão...

Resolva a equação em R

Answer 1

Para resolver essa equação em $\mathbb{R}$, os argumentos dos logaritmos (os logarimandos) e as bases dos logaritmos da equação não podem ser negativos. Além disso, as bases também devem ser diferente de $1$. Sendo assim, devem ser verdadeiras as três condições abaixo:

$\begin{array}{rlc} x^{2}-3x+2&>0&(i)\\ \\ x-2&>0&(ii)\\ \\ \frac{1}{\sqrt{x+1}}&\neq1&(iii) \end{array}$


Da condição $(i)$, devemos ter

$x^{2}-3x+2>0\\ \\ x^{2}-x-2x+2>0\\ \\ x\left(x-1 \right )-2\left(x-1 \right )>0\\ \\ \left(x-1 \right )\left(x-2 \right )>0\\ \\ \left\{\begin{array}{rclr} x-1>0&\text{ e }&x-2>0&\text{ ou}\\ \\ x-1<0&\text{ e }&x-2<0& \end{array}\right.\\ \\ \left\{\begin{array}{rclr} x>1&\text{ e }&x>2&\text{ ou}\\ \\ x<1&\text{ e }&x<2& \end{array}\right.\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x>2&\text{ ou }&x<1 \end{array}}$


Da condição $(ii)$, devemos ter

$x-2>0\\ \\ \boxed{x>2}$


Da condição $(iii)$, devemos ter

$\frac{1}{\sqrt{x+1}} \neq 1\\ \\ \begin{array}{rcl} x+1>0&\text{ e }&x+1\neq1\\ \\ x>-1&\text{ e }&x \neq 0 \end{array}\\ \\ \frac{1}{\sqrt{x+1}} \neq 1\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x>-1&\text{ e }&x \neq 0 \end{array}}$


Logo, para satisfazer as três condições simultaneamente, basta termos

$\boxed{x>2}$

Esta é a unica restrição para $x$ como solução da nossa equação.


Vamos à equação. Utilizando propriedades operatórias dos logarimos, temos:

$\left(\log_{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{10} \right )\cdot\left[\log_{10}{\left(x^{2}-3x+2 \right )} \right ]=-1+\left(\log_{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{10} \right)\cdot\left[\log_{10}{\left(x-2 \right )} \right ]\\ \\ \left(\log_{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{10} \right )\cdot\left[\log_{10}{\left( \left(x-1 \right )\left(x-2 \right )\right)} \right ]=-1+\left(\log_{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{10} \right)\cdot\left[\log_{10}{\left(x-2 \right )} \right ]\\ \\ \left(\log_{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{10} \right )\cdot\left[\log_{10}{\left(x-1 \right )}+\log_{10}{\left( x-2} \right)\right ]=-1+\left(\log_{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{10} \right)\cdot\left[\log_{10}{\left(x-2 \right )} \right ]\\ \\ \\\left(\log_{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{10} \right )\cdot\left[\log_{10}{\left(x-1 \right )}\right]+\left(\log_{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{10} \right )\cdot\left[\log_{10}{\left( x-2} \right)\right ]=\\ =-1+\left(\log_{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{10} \right)\cdot\left[\log_{10}{\left(x-2 \right )} \right ]$


Eliminado o termo $\left(\log_{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{10} \right)\cdot\left[\log_{10}{\left(x-2 \right )} \right ]$ em ambos os lados da equação, finalmente chegamos a

$\left(\log_{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{10} \right )\cdot\left[\log_{10}{\left(x-1 \right )}\right]=-1$


Utilizando a fómula de mudança de base, podemos escrever

$\left[\frac{1}{\log_{10}{\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}} \right )} \right] \cdot \left[\log_{10}{\left(x-1 \right )}\right]=-1\\ \\ \frac{\log_{10}{\left(x-1 \right )}}{\log_{10}{\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}} \right)}}=-1\\ \\ \log_{10}{\left(x-1 \right )}=-\log_{10}{\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}} \right)}\\ \\ \log_{10}{\left(x-1 \right )}=\log_{10}\left[ {\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}} \right)}^{-1} \right]\\ \\ \log_{10}{\left(x-1 \right )}=\log_{10}{\left(\sqrt{x+1} \right)}$


Ambos os lados da igualdade são logaritmos de mesma base. Então, igualando os logaritmandos, temos

$x-1=\sqrt{x+1}\\ \\ \left(x-1 \right )^{2}=x+1\\ \\ x^{2}-2x+1=x+1\\ \\ x^{2}-3x=0\\ \\ x\left(x-3 \right)=0\\ \\ \begin{array}{lcl} x=0\text{ (n\~{a}o serve, pois }x>2\text{)}&\text{ ou }&x-3=0\\ \\ \end{array}\\ \\ \boxed{x=3}$


Logo, o conjunto solução da equação é

$S=\{3\}$