Question

Me ajudem a resolver isso

Log1/3 (x²-4x+4)=2

Answer 1

$log _{ \frac{1}{3}}( x^{2} -4x+4)=2$

E aí Andy,

pela condição de existência, temos que:

$\begin{cases} x^{2} -4x+4>0\\ (x-2)(x-2)>0\\ x>2\end{cases}$

Usando a definição de logaritmos, temos:

$x^{2} -4x+4= (\frac{1}{3})^{2}\\\\ x^{2} -4x+4= \frac{1}{9}\\\\ \frac{9 x^{2} }{\not9}- \frac{36x}{\not9}+ \frac{36}{\not9}= \frac{1}{\not9}\\\\ 9 x^{2} -36x+36=1\\ 9 x^{2} -36x+35=0$

$\Delta=b^{2}-4ac\\ \Delta=(-36)^{2}-4*9*35\\ \Delta=1.296-1.260\\ \Delta=36$

$\boxed{x= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}}\\\\\\ x= \frac{-(-36)\pm \sqrt{36} }{2*9}\to~x= \frac{36\pm6}{18}\to~\begin{cases}x'= \frac{36-6}{18}\to~x'= \frac{5}{3}\\\\ x''= \frac{36+6}{18}\to~x''= \frac{7}{3}\end{cases}$

Como na restrição acima temos que x deve ser > 2, x=5/3 não seve, logo a solução da equação logarítmica é:

$\boxed{S=\{ \frac{7}{3}\}}$


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))