Question

Me ajudem a resolver este exercício... Vale 25 pontos !
Parte 2 !
Assunto: máximos e mínimos.
Obs: Colocar todos os cálculos.

1) A Produção de peças de uma empresa em $x$ horas diárias de trabalho é dado por:

$f(x)= \left \{ {20( x^{2} +x),0 \leq x \leq 3} \atop {50(2x+1),4 \leq x \leq 9}} \right.$

a)Qual a razão de produção após 2 horas de trabalho ?
b) e após 5 horas de trabalho ?
c) quantas peças serão produzidas na quinta hora ?

2) para construir uma quadra de esportes dispondo de 60m de alambrado e , por questão de economia, devo aproveitar o muro do quintal. quais devem ser as dimensões para que a área seja máxima ?

Answer 1

a) $x$ é a quantidade de horas, neste caso, são duas horas. Se $f(x) = 20(x^{2}+ x)$ para $x$ ∈ [0;3], então esta será a função a qual utilizaremos, uma vez que $x = 2$ e 2 ∈ [0;3]. Sendo assim:
$f(x) = 20(x^{2}+ x)$ ⇒ $f(2) = 20(2^{2}+2)$⇒ $f(2)=20(6)$⇒ $f(2)=120$ peças produzidas.
Mas ele quer a razão (como não foram dadas mais informações faremos a produção de peças sobre as horas):
$r = \frac{f(2)}{2}$, pois foram as horas que levaram
$r = \frac{120}{2}$
$r = 60$ peças/hora

b) Como ele passará 5 horas produzindo (x = 5), basta fazer:
$f(5) = 50(2x+1)$
$f(5) = 50(2*5+1)$
$f(5) = 50(11)$
$f(5) = 550$ peças produzidas

c) Agora, ele quer quantas serão produzidas na quita hora, isto é, quando a produção seguir a função $f(x) = 50(2x+1)$ (começa em 4), teremos então:
$f(5) = 50(2*5+1)$
$f(5)=550$
Mas na quarta hora foram produzidos:
$f(4) = 50(2*4+1)$
$f(4) = 450$
Para descobrirmos quantas foram produzidas somente na 5 horas fazermos
$f(5) - f(4)$
$550 - 450$
$100$ peças foram produzidas na quinta hora

2) Temos o muro do quintal medindo x e outros 60 m de alambrado, sendo assim, temos um perímetro de: $60 + x$
Sendo x o quarto lado temos a soma dos outros três lados igual a 60 m. Como a área de todo quadrado é maior do que a área de qualquer retângulo desde que tenham o mesmo perímetro, segue:
$\frac{60}{3}$ ⇒$20$ m é a medida de cada um dos outros 3 lados.
Para ampliarmos a área poderíamos atribuir as medidas para x sendo maiores que 20, mas teríamos um trapézio, o que não convém à uma quadra de esportes, pois seria área desperdiçada, uma vez que utilizaríamos apenas uma parte retangular no interior, sendo assim, devemos construir um quadrado 20 x 20 m