Question

Me ajudem a resolver essas questão por favor

Answer 1

Resposta:

$a) \frac{17}{7}\\\\b)3\\\\c) \frac{11}{4}\\\\\\d) \frac{1}{2}$

Explicação passo a passo:

Bora lá

Primeira coisa que a gente tenta fazer quando dá de cara com um limite é:

Substituir o valor

Então no item a) temos

$\lim_{x \to 2} \frac{5x+7}{2x+3}\to \frac{5\times2+7}{2\times2+3}=\frac{10+7}{4+3}=\frac{17}{7}$

Então o item a é isso, não tivemos nenhum problema ao substituir o valor de $x$, glória a deux

item b)

Bora tentar substituir dnvo

$\lim_{x \to 1} 2x^3-5x^2+6\to2\times1^3-5\times1^2+6=2-5+6=3$

nenhu problema aqui também

no item c)

$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2+3x-14}{x^2-4}$

bora tentar substituir também

$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2+3x-14}{x^2-4}\to\frac{2\times2^2+3\times2-14}{2^2-4}=?????\frac{0}{0}?????$

essa aqui deu um ruim bem feio, mas existem tecnicas pra tentar resolver isso

Como $x=2$ zerou nosso numerador e nosso denominador, então sabemos com toda a certeza da vida que $x=2$ é raiz do polinomio do numerador e do denominador ao mesmo tempo, então podemos fazer a divisão de polinomios,

$\frac{2x^2+3x-14}{x-2}$ e também $\frac{x^2-4}{x-2}$

Fazendo as continhas a gente chega em

$\frac{2x^2+3x-14}{x-2}=2x+7$ e portanto$2x^2+3x-14 = (2x+7)(x-2)$

e em

$\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$ e portanto $x^2-4=(x+2)(x-2)$, vamos substituir esses trem na nossa função original então

$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2+3x-14}{x^2-4}\to\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(2x+7)}{(x-2)(x+2)}$

Agora podemos simplificar o $(x-2)$ do numerador com o do denominador e ficamos com

$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2+3x-14}{x^2-4}\to\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(2x+7)}{(x-2)(x+2)}\to \lim_{x \to 2} \frac{2x+7}{x+2}$

Vamos agora tentar substituir denovo o $x$

$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2+3x-14}{x^2-4}\to \lim_{x \to 2} \frac{2x+7}{x+2}\to\frac{2\times2+7}{2+2}=\frac{11}{4}$

Agora deu bonitinho, parece que o que a gente fez foi meio confuso, mas é muito usado esse rolê de dividir o numerador e o denominador por $(x-x_0)$, onde $x_0$ é uma raiz do polinomio

para o item d)

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-3x}{x^2-9}$

tentando substituir vamos ter

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-3x}{x^2-9}\to\frac{9-9}{9-9}$ que vai dar $\frac{0}{0}$ denovo, então isso daqui a gente vai ter que fazer alguma coisa também pra tentar driblar a indeterminação

No item anterior eu "fiz" a divisão do polinomio pela raiz, nessa aqui vou "fazer" por produtos notaveis e fatoração, curte só

$(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)$ -> produtos notaveis

$(ax+ay)=a(x+y)$ -> fatoração

então podemos escrever

$x^2-9 = x^2-3^2=(x+3)(x-3)$

e

$(x^2-3x)=(xx-3x)=x(x-3)$

E reescrevemos nossa função original como

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-3x}{x^2-9}\to\lim_{x \to 3} \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}$

simplificando o $(x-3)$ no numerador e no denominador vamos ficar com

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-3x}{x^2-9}\to\lim_{x \to 3} \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}\to\lim_{x \to 3} \frac{x}{x+3}\to\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Não é das coisas mais triviais, tô ligad, qualquer dúvida chama nois