Question

me ajudem a estudar pra prova pf
lim(x²-6x+9)/(x-3)
com x tendendo a 3

Answer 1

$\boxed{\lim_{x \to 3} \frac{x^2-6x+9}{x-3} }$

primeiro vc substitui x por 3..e faz o calculo a resposta será 0/0 certo? ..
temos uma indeterminação ...podemos resolver facilmente esse limite...fatorando a equação

observando a equação que está no numerador
$x^2-6x+9$
quando nós substituimos x por 3..o resultado deu 0 certo?...
então isso quer dizer que 3..é uma das raízes dessa equação do segundo grau
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reescrevendo uma equação do segundo grau na forma fatorada seria
$(x-r')*(x-r'')$
 (isso tambem é uma equação do segundo grau só que na forma fatorada)
r' e r'' são as raízes dessa equação
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$x^2-6x+9$
A= 1
B = -6
C = 9
como ja sabemos uma raíz da equação..vamos ver se essa equação possui duas raízes reais e distintas..isso acontece quando Δ>0

$\Delta =b^2-4*a*c\\\\\Delta=(-6)^2-4*1*9\\\\\Delta=36-36\\\\\Delta=0$

se delta é =0 ..então essa equação tem duas raízes iguais
logo r'' = 3 ...e r'' = 3

substituindo isso na forma fatorada temos
$(x-r')*(x-r'')\\\\\boxed{(x-3)*(x-3) =x^2-6x+9}$

agora reescrevendo a expressão com a equaçao fatorada no numerador
$\frac{(x-3)*(x-3)}{(x-3)} = (x-3)$

como é uma multiplicação...vc corta o denominador com o numerador ..porque (x-3) dividido por (x-3) = 1 (um numero dividido por ele mesmo)

agora calculando o limite
$\lim_{x \to \inft 3} (x-3)=3-3=0$

o limite quando x = 3 é 0