Question

Me ajudem a calcular lim x−6x +6x−5

Answer 1

Temos o seguinte limite.

$\boxed{ \sf \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x {}^{3} - 6x {}^{2} + 6x - 5}{x {}^{2} - 5x} }$

Agora vamos substituir o valor a qual o "x" tende no local de "x" e observar uma coisinha:

$\sf \frac{x {}^{3} - 6x {}^{2} + 6x - 5}{x {}^{2} - 5x} \: \: \: \: \: \: \: \: x \rightarrow 5 \\ \\ \sf \sf\frac{5 {}^{3} - 6.5 {}^{2} + 6.5 - 5 }{5 {}^{2} - 5.5} \\ \\ \sf\frac{125 - 6.25 + 30 - 5}{25 - 25} \\ \\ \sf \frac{125 - 150 + 25}{0} \\ \\ \sf \frac{150 - 150}{0} \\ \\ \boxed{ \sf \frac{0}{0} }$

Note que surgiu uma indeterminação do tipo 0/0, quando o resultado é uma indeterminação devemos fazer alguma manipulação algébrica de forma que a mesma suma.

Vamos fatorar o numerador, para isso vamos usar Briot-ruffini, pois sabemos uma das raízes desse polinômio, que é o valor a qual "x" tende, já que se substituirmos o esse valor em "x" obtemos "0".

$\sf x {}^{3} - 6x {}^{2} + 6x - 5 \\ \\ \begin{array}{r|c}5&1& - 6&6& - 5 \\ &1&1.5 - 6&(1.5 - 6).5 + 6&((1.5 - 6).5 + 6).5 - 5 \\ &1& - 1&1&0 \\ \\& x {}^{2} - x + 1 \end{array} \\ \\ \boxed{ \sf( x- 5).(x {}^{2} - x + 1)}$

Essa é a forma fatorada do numerador, então vamos substituir esse valor no seu devido local.

$\sf \frac{(x - 5)(x {}^{2} - x + 1 )}{x {}^{2} - 5x}$

Vamos fatorar o denominador também, essa fatoração será bem mais fácil.

$\sf \frac{(x - 5).( {x}^{2} - x + 1)}{x.(x - 5)}$

Corte os termos semelhantes, ou seja, (x - 5) com (x - 5):

$\sf \frac{ \cancel{(x - 5}.( {x}^{2} - x + 1)}{x. \cancel{(x - 5)}} \\ \sf \\ \sf\frac{x {}^{2} - x + 1}{x}$

Agora sim podemos substituir o valor a qual o "x" tende no local de "x".

$\sf \frac{x {}^{2} - x + 1 }{x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: x \rightarrow5 \\ \\ \sf \frac{5 {}^{2} - 5 + 1 }{5} = \frac{25 - 4}{5} = \boxed{ \sf \frac{21}{5}}$

Portanto temos que a resposta é:

$\sf \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x {}^{3} - 6x {}^{2} + 6x - 5}{x {}^{2} - 5x} = \boxed{ \sf\frac{21}{5}}$

Espero ter ajudado