Question

Me ajudem a calcular essas intregrais definidas e indefinidas:
a)$\int\limits^0_2 {5h \sqrt{4-h^2} } \, dx$
b)∫$\frac{x+2}\sqrt{x^2+4x+7}$
c)∫$\frac{cosec \alpha }{cosec \alpha -sen \alpha }$

Answer 1

a) Vamos calcular inicialmente a integral indefinida utilizando o método da substituição.

$\int{5h\sqrt{4-h^2}} \, dh$

Fazemos:

$u=4-h^2 \\ du=-2h \ dh$

$\int{5h.\sqrt{u}(- \frac{du}{2h}) = - \frac{5}{2}\int u^{1/2}du  =- \frac{5}{3}u^{3/2}= - \frac{5}{3}\sqrt{(4-h^2)^3}+c$

Aplicando os limites de integração.

${- \frac{5}{3}\sqrt{(4-(0)^2)^3}-\frac{5}{3}\sqrt{(4-(-2)^2)^3}=-40/3$

b) Vamos aplicar o método da substituição, fazendo:

$u=x^2+4x+7 \\ du=2x+4 dx \\ du=2(x+2)dx$

A integral vai ficar:

$\int{ \frac{x+2}{ \sqrt{u} } . \frac{du}{2(x+2)} = \frac{1}{2}.\int \frac{du}{ \sqrt{u} } =u^{1/2}+c=(x^2+4x+7)^{1/2}+c$

c) Podemos inicialmente simplificar a expressão afim de obter um função trigonométrica mais simples.

$\frac{csc(\alpha)}{csc(\alpha)-sen(\alpha)}= \frac{ \frac{1}{sen(\alpha)}}{ \frac{1-sen^2(\alpha)}{sen(\alpha)} } = \frac{1}{cos^2(\alpha)}=sec^2(\alpha)$

Assim,

$\int{ \frac{csc(\alpha)}{csc(\alpha)-sen(\alpha)} \ d\alpha}=\int {sec^2(\alpha) \ d\alpha} = tan(\alpha)+c$