Matemática, perguntado por gabrielasilvagomes18, 5 meses atrás

Me ajudem
4. Determine as raizes (zeros) reais da função quadratica f(x) =2x2 -3x+1
5. Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima. Ao fim de t segundos, ela atinge a altura h (em metros) dada por h (t) =40t -5t2.a altura máxima atingida pela pedra e o instante t em que isso ocorrer São respetivamente:
(A) 80 m e 3 s.

(B) 60 m e 3 s

(C) 60 m e 4 s

(D) 80 m e 4 s

(E) 100 m e 4 s

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Questão 4 )

Os zeros (raízes) de uma função f são os valores de x no qual f(x) = 0. Para determinar os zeros iguale a função a zero e calcule x. Ao invés de usar a fórmula de Bhaskara, aqui irei fazer por fatoração pois é mais rápido

$\begin{array}{l}\\\sf f(x)=2x^2-3x+1\\\\\sf 2x^2-3x+1=0\\\\\sf 2x^2-2x-x+1=0\\\\\sf 2x(x-1)-(x-1)=0\\\\\sf (2x-1)\cdot(x-1)=0\\\\\begin{cases}\sf 2x-1=0\\\\\sf x-1=0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf 2x=1\\\\\sf x=1\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf x'=\dfrac{1}{2}\\\\\sf x''=1\end{cases}\end{array}$

Assim as raízes são: 1/2 e 1

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Questão 5 )

Uma pedra que lançada do solo para cima atinge uma altura h (em metros) ao final de um tempo t (em segundos), dada por: h(t) = 40t – 5t²

É sabido que o vértice de uma parábola pode ser ponto de máximo absoluto (maior valor da função), ou ponto de mínimo absoluto (menor valor da função). Como não temos o gráfico em mãos, podemos determinar se o ponto é de máximo ou de mínimo através do coeficiente " a ". Como na função tem-se a = – 5, então a < 0, assim a função tem o ponto de máximo absoluto

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Dessa forma, nesta função o ponto de máximo será a altura máxima em que a pedra vai atingir após ser lançada. Para calcular essa altura aplique:

yv = –∆/4a => Lembre-se que ∆ = b² – 4ac

yv é o y do vértice, que faz parte das coordenadas do vértice da parábola (xv , yv). Se a função tivesse ponto de mínimo absoluto calcularíamos o xv (x do vértice, dada por outra fórmula)

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Lembrando que na função h(t) = 40t – 5t² os coeficientes são: a = – 5, b = 40, c = 0. Assim:

$\begin{array}{l}\\\sf y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}\\\\\sf y_v=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}\\\\\sf y_v=\dfrac{-(40^2-4\cdot(-5)\cdot0)}{4\cdot(-5)}\\\\\sf y_v=\dfrac{-(1600-0)}{-20}\\\\\sf y_v=\dfrac{-1600}{-20}\\\\\!\boxed{\sf y_v=80}\end{array}$

Desta forma a altura máxima que a pedra pode atingir é de 80 metros

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Agora vamos calcular o instante t em que ela atinge essa altura, ou seja, o tempo em que ela demora pra chegar a 80 m, basta igualar a função a 80 e calcular t (calcularei por fatoração novamente):

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$\begin{array}{l}\\\sf h(t)=40-5t^2\\\\\sf 40t-5t^2=80\\\\\sf -5t^2+40t-80=0 \\\\\sf -5(t^2-8t+16)=0\\\\\sf produto~not\acute{a}vel \: \: a^2-2ab+b^2=(a-b)^2:\\\\\sf -5((t)^2-2(t)(4)+(4)^2)=0\\\\\sf -5(t-4)^2=0\\\\\sf (t-4)^2=\dfrac{0}{5}\\\\\sf \sqrt{(t-4)^2}=\sqrt{0}\\\\\sf \begin{vmatrix}\sf t-4\end{vmatrix}\sf =0\\\\\sf t-4=0\\\\\!\boxed{\sf t=4}\end{array}$