Question

Me ajudem:

∫(2x²+3)^10 dx

(Integral de (2x²+3) elevado a décima potência)

Answer 1

$\int( {2 {x}^{2} + 3)}^{10}dx$

$u = {(2 {x}^{2} + 3)}^{10} \\ du = 10. {(2 {x}^{2} + 3)}^{9} .4xdx \\ du = {(2 {x}^{2} + 3)}^{9} 40xdx$

$dv = dx \\ v = x$

$\int \: u.dv = u.v - \int \: v.du$

$\int {(2 {x}^{2} + 3)}^{10}dx \\ = {(2 {x}^{2} + 3)}^{10}.x \\ - \int(x. {(2 {x}^{2} + 3 )}^{9}.40xdx$

$= {(2 {x}^{2} + 3 )}^{10} x \\ - \int {(2 {x}^{2} + 3 )}^{9}.40 {x}^{3} dx$

Vamos utilizar uma substituição simples para calcular a segunda integral e depois substituir na expressão inicial.

$\int {(2 {x}^{2} + 3 )}^{9}.40 {x}^{3} dx$

$t = 2 {x}^{2} + 3 \\ {x}^{2} = \frac{t - 3}{2} \\ dt = 4xdx \\ xdx = \frac{dt}{4}$

$40 {x}^{3}dx = 40. {x}^{2}.xdx \\ = 40. (\frac{t - 3}{2}). \frac{dt}{4} \\ = 5(t - 3)dt$

$\int {(2 {x}^{2} + 3 )}^{9}.40 {x}^{3} dx \\ = \int{t}^{9}.5(t - 3)dt \\ = \int(5 {t}^{10} - 15 {t}^{9})dt$

$\frac{5}{11}. {t}^{11} - \frac{3}{2} . {t}^{10} + c$

$\int {(2 {x}^{2} + 3 )}^{9}.40 {x}^{3} dx \\ = \frac{5}{11} {(2 {x}^{2} + 3 )}^{11} - \frac{3}{2} {(2 {x}^{2} + 3)}^{10}$

Substituindo na expressão inicial temos

${(2 {x}^{2} + 3 )}^{10} x \\ - \frac{5}{11} {(2 {x}^{2} + 3 )}^{11} + \frac{3}{2} {(2 {x}^{2} + 3)}^{10})$

Espero ter ajudado

bons estudos :)