me ajudem
1 – Resolva a equação modular |3x – 1| = |2x + 6|.
2 – Determine quais números compõem o conjunto solução da equação modular a seguir:
|4x + 3| = – 3x + 7
3 - Encontre o conjunto solução da equação modular |x + 1| + |2x – 1| = 3.
4 - (UEPA) O conjunto solução da equação |x|2 – 2|x| – 3 = 0 é igual a:
a) S = {– 1, 3}
b) S = {– 3, 3}
c) S = {– 1, 1}
d) S = {– 3, 1}
e) S = {1, 3}
5 - (Mackenzie – SP) A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade |x2 – x – 2| = 2x + 2 é:
a) 1
b) 3
c) – 2
d) 2
e) – 3
Soluções para a tarefa
Resposta:
1 ) S = { - 1 : 7 } 2) S = { - 10 ; 4/7 } 3) S = { - 1 ; 1 }
4 ) S = { - 3 ; 3 } logo b) 5 ) 3 logo b )
Explicação passo a passo:
Observação 1 → Módulo de x
Quando temos módulo de x acontece uma de duas situações
|x| = x se x ≥ 0
ou
| x | = - x se x < 0
Com base neste conhecimento iremos aplicá-lo nos exercícios
1 ) |3x – 1| = |2x + 6|
3x - 1 = 2x + 6 ou 3x - 1 = - ( 2x + 6 )
3x - 1 = 2x + 6
3x - 2x = 6 + 1
x = 7
ou
3x - 1 = - ( 2x + 6 )
3x - 1 = - 2x - 6
3x + 2x = - 6 + 1
5x = -5
5x/5 = - 5/5
x = - 1
S = { - 1 : 7 }
2 ) |4x + 3| = – 3x + 7
4x + 3 = - 3x + 7 ou 4x + 3 = - ( - 3x + 7 )
4x + 3 = – 3x + 7
4x + 3x = 7 - 3
7x = 4
7x / 7 = 4/7
x = 4/7
ou
4x + 3 = - ( - 3x + 7 )
4x + 3 = + 3x - 7
4x - 3x = - 7 - 3
x = - 10
S = { - 10 ; 4/7 }
3) | x + 1 | + | 2x – 1 | = 3
Isolar um módulo em cada membro da equação
| x + 1 | = + ( - | 2x - 1 | ) + 3
x + 1 = - 2x + 1 + 3
O + 3 não muda de sinal porque não nada a ver com x ; 3 é 3.
x + 2x = 4 - 1
3x = 3
x = 1
| x + 1 | = - ( - | 2x - 1 | ) + 3
x + 1 = - ( - 2x + 1 ) + 3
x + 1 = + 2x - 1 + 3
x - 2x = 2 - 1
- x = 1
multiplicar tudo por " - 1 "
x = - 1
S = { - 1 ; 1 }
4) |x|² – 2|x| – 3 = 0
Observação → Mudança de variável
É frequente em Matemática usar-se o método de substituir uma variável por
outra , tornando mais fácil a resolução.
No fim tem que se verificar se as soluções obtidas para a nova variável
servem à variável original.
Frequentemente tem que se rejeitar algumas soluções encontradas.
Vamos dizer que | x | = y
E vamos ter
y² - 2y - 3 = 0
Equação do 2º grau - resolução pela Fórmula de Bhascara
y = ( - b ± √Δ )/2a Δ = b² - 4*a*c a ≠ 0
a = 1
b = - 2
c = - 3
Δ = ( - 2 )² - 4 * 1 * ( - 3 ) = 4 + 12 = 16
√Δ = √16 = 4
y1 = ( - ( - 2 ) + 4 ) / ( 2*1 )
y1 = ( + 2 + 4 ) / 2
y1 = 6/2
y1 = 3
y1 = ( - ( - 2 ) - 4 ) / ( 2*1 )
y1 = ( + 2 - 4 ) / 2
y1 = - 2 /2
y1 = -1
Agora voltamos à incógnita inicial
| x | = - 1
Temos que rejeitar esta solução porque o módulo de um número dá sempre positivo.
| x | = 3
temos duas soluções
x = 3 ∨ x = - 3
S = { - 3 ; 3 } logo b)
5) | x² – x – 2 | = 2x + 2
x² – x – 2 = 2x + 2 ou x² – x – 2 = - ( 2x + 2 )
x² – x - 2x – 2 - 2 = 0
x² - 3x - 4 = 0
a = 1
b = - 3
c = - 4
Δ = ( - 3 )² - 4 * 1 * ( - 4 ) = 9 + 16 = 25
√Δ = √25 = 5
x1 = ( - ( - 3 ) + 5 ) / ( 2*1 )
x1 = ( + 3 + 5) / 2
x1 = 8 / 2
x1 = 4
x2 = ( - ( - 3 ) - 5 ) / ( 2*1 )
x2 = ( + 3 - 5 ) / 2
x2 = - 2 / 2
x2 = - 1
Na outra equação do 2º grau
x² – x – 2 = - ( 2x + 2 )
x² – x – 2 = - 2x - 2
x² – x + 2x – 2 + 2 = 0
x² + x = 0
Esta equação incompleta do 2º pode-se resolver colocando o x em
evidência.
Não é obrigatório resolver pela Fórmula de Bhascara
x * x + x = 0
x * ( x + 1 ) = 0
Equação Produto
x = 0 ∨ x + 1 = 0
x = 0 ∨ x = - 1
O " - 1 " repete-se, só se regista uma vez.
S = { - 1 ; 0 ; 4 }
- 1 + 0 + 4 = - 1 + 4 = 3 logo b )
Observação → Sinal menos antes de parêntesis
Quando se tem o sinal menos antes de parêntesis, as parcelas que estão dentro do parêntesis, quando saem trocam o seu sinal.
Exemplos
- ( 2x + 2 ) = - 2x - 2
outro exemplo
- ( - 3x + 7 ) = + 3x - 7
outro
- ( 2x + 6 ) = - 2x - 6
tudo exemplos dos exercícios resolvidos.
Bons estudos.
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( ∨ ) ou ( ≠ ) diferente de ( * ) multiplicação ( / ) divisão
( | | ) módulo de
( x1 e x2 ) nomes das raízes da equação do 2º grau
( y1 e y2 ) nomes das raízes da equação do 2º grau