Question

ME AJUDEEM
Qual o resultado da inadequação
$\frac{{x}^{2} - 7x + 10}{x - 4} \leqslant 0$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Igor, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o resultado da seguinte inequação-quociente:

(x²-7x+10)/(x-4) ≤ 0

ii) Veja que temos duas funções: uma no numerador (f(x) = x²-7x+10) e outra no denominador (g(x) = x-4). Vamos encontrar as raízes de cada uma dessas funções. Assim, teremos;

f(x) = x² - 7x + 10 ----> raízes: x²-7x+10 = 0 ---> x' = 2; e x'' = 5
g(x) = x-4 ----> raízes: x-4 = 0 ---> x = 4.

iii) Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas em função de suas raízes. Depois daremos o conjunto-solução da inequação-quociente originalmente dada. Assim teremos;

a) f(x) = x²-7x+10.... + + + + + + + (2) - - - - - - - - - - - - - (5) + + + + + + + +
b) g(x) = x - 4......... - - - - - - - - - - - - - - - - - - (4) + + + + + + + + + + + + + +
c) a/b .................... - - - - - - - - - - - (2)+ + + + (4)- - - - -  (5) + + + + + + + +

Agora veja: como queremos que a inequação-quociente seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos ou seja igual a zero no item "c' acima que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x). Assim, o conjunto-solução serão os seguintes intervalos:

x ≤ 2, ou 4 < x ≤ 5 ----- Esta é a resposta.

Aí você poderá perguntar: por que "x" pode ser menor ou igual a "2", pode ser menor ou igual a "5" e, no entanto, só pode ser apenas maior do que "4" e por que também não seria maior ou igual a 4?
Resposta: Porque o "4" é raiz do denominador. Se fôssemos admitir que "x" pudesse ser maior ou igual a "4" estaríamos admitindo uma divisão por zero, pois toda raiz zera a equação da qual ela é raiz. Então o "x", quanto ao denominador, só poderá ser maior do que "4"  e nunca maior ou igual, ok?

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução por meio de uma das seguintes formas, que são equivalentes à resposta acima:

S = { x ∈ R | x ≤ 2, ou 4 < x ≤ 5}.
ou
S = (-∞; 2] ∪ (4; 5].

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.