Question

Me ajudeeem por favor com essas atividades de trigonometria

Answer 1

Para resolver as atividades, basta conhecer 3 fórmulas:

• seno da soma/diferença: $\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta;$
• cosseno da soma/diferença: $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta;$
• fórmula fundamental da trigonometria: $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha = 1.$

É ainda necessário conhecer as definições de secante e cossecante:

• $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos\alpha};$
• $\csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha}.$

3. a. Começamos por aplicar a fórmula do seno da soma:

$\sin(2a) = \sin(a+a) = \sin a \cos a + \sin a \cos a = 2\sin a \cos a.$

Da fórmula fundamental da trigonometria, sabendo que $\sin a = \frac{1}{3}$, obtém-se:

$\sin^2 a +\cos^2 a = 1 \iff \cos a = \pm\sqrt{1-\sin^2 a} = \pm\sqrt{1-\dfrac{1}{9}} = \pm\dfrac{\sqrt{8}}{3}.$

Agora, uma vez que $a\in2.^\textrm{o }\textrm{Q}$, vem que $\cos a < 0$, donde $\cos a = -\frac{\sqrt{8}}{3}$. Assim, obtém-se:

$\sin(2a) = 2\sin a \cos a = 2 \times \dfrac{1}{3} \times\dfrac{-\sqrt{8}}{3} = -\dfrac{2\sqrt{8}}{9}=-\dfrac{4\sqrt{2}}{9}.$

3. b. Da definição de cossecante, vem simplesmente:

$\csc(2a) = \dfrac{1}{\sin(2a)} = \dfrac{1}{-\frac{4\sqrt{2}}{9}} = -\dfrac{9}{4\sqrt{2}} = -\dfrac{9\sqrt{2}}{8}.$

3. c. Da fórmula do cosseno da soma e da fórmula fundamental da trigonometria, vem:

$\cos(2a) = \cos(a+a) = \cos^2 a - \sin^2 a = (1-\sin^2 a) - \sin^2 a= 1-2\sin^2 a = 1-2\times\dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}.$

Da definição de secante, vem simplesmente:

$\sec(2a) = \dfrac{1}{\cos(2a)} = \dfrac{1}{\frac{7}{9}} = \dfrac{9}{7}.$

5. a. Começamos por notar simplesmente que $6 = 7-1$ e $8 = 7+1$, pelo que:

$\sin (6x) + \sin(8x) = \sin(7x - x) + \sin(7x + x).$

Aplicando agora a fórmula do seno da diferença/soma, vem:

$\sin(7x-x) = \sin(7x)\cos x - \sin x \cos(7x);$

$\sin(7x+x) = \sin(7x)\cos x + \sin x \cos(7x).$

De maneira que:

$\sin(6x) + \sin(8x) =[\sin(7x)\cos x - \sin x \cos(7x)] + [\sin(7x)\cos x + \sin x \cos(7x)].$

Ou seja:

$\sin(6x)+\sin(8x) = 2\sin(7x)\cos x.$

5. b. Podemos aplicar a fórmula do cosseno da soma e a fórmula fundamental da trigonometria para concluir que:

$\cos(2x) = \cos(x+x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (1-\sin^2 x) - \sin^2 x= 1-2\sin^2 x.$

Assim, vem simplesmente:

$1-\cos(2x) = 1-(1-2\sin^2 x) = 2\sin^2 x.$