Question

ME AJUDEEEM! NÃO PODE COLAR DA INTERNET.

Descreva de forma comentada e algébrica o processo para se encontrar o lado e o apotema de um hexágono inscrito em uma circunferência e um triângulo inscrito numa circunferência.

Answer 1

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Observe a figura em anexo.


O enunciado pede para encontrar o lado e o apótema para um hexágono e um triângulo inscrito a uma circunferência de raio $\mathsf{r}.$

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Hexágono regular inscrito à circunferência.

O segmento $\mathsf{\overline{AO}}$ está sobre a bissetriz de um dos ângulos internos do hexágono.


Cada ângulo interno de um hexágono regular mede

$\mathsf{A_i=180^\circ-\dfrac{360^\circ}{6}}\\\\\\ \mathsf{A_i=180^\circ-60^\circ}\\\\ \mathsf{A_i=120^\circ}\qquad\quad\checkmark$


Portanto, a medida do ângulo $\mathsf{O\widehat{A}M}$ é

$\mathsf{med(O\widehat{A}M)=\dfrac{A_i}{2}}\\\\\\ \mathsf{med(O\widehat{A}M)=\dfrac{120^\circ}{2}}\\\\\\ \mathsf{med(O\widehat{A}M)=60^\circ}\qquad\quad\checkmark$


Usando as razões trigonométricas no triângulo retângulo $\mathsf{OAM,}$ devemos ter

•   $\mathsf{\dfrac{\ell/2}{r}=cos\,60^\circ}$

$\mathsf{\dfrac{\ell}{2}=r\,cos\,60^\circ}\\\\\\ \mathsf{\ell=2r\,cos\,60^\circ}\qquad\quad\left(\textsf{mas }\mathsf{cos\,60^\circ=\dfrac{1}{2}}\right)\\\\\\ \mathsf{\ell=\diagup\!\!\!\! 2r\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2}}$

$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\ell=r} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{medida do lado.}$


•   $\mathsf{\dfrac{a}{r}=sen\,60^\circ}$

$\mathsf{a=r\,sen\,60^\circ}\qquad\quad\left(\textsf{mas }\mathsf{sen\,60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)\\\\\\ \mathsf{a=r\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{a=\dfrac{r\sqrt{3}}{2}} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{medida do ap\'otema.}$

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Triângulo equilátero inscrito à circunferência.

O segmento $\mathsf{\overline{AO}}$ está sobre a bissetriz de um dos ângulos internos do triângulo.


Cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede

$\mathsf{A_i=180^\circ-\dfrac{360^\circ}{3}}\\\\\\ \mathsf{A_i=180^\circ-120^\circ}\\\\ \mathsf{A_i=60^\circ}\qquad\quad\checkmark$


Portanto, a medida do ângulo $\mathsf{O\widehat{A}M}$ é

$\mathsf{med(O\widehat{A}M)=\dfrac{A_i}{2}}\\\\\\ \mathsf{med(O\widehat{A}M)=\dfrac{60^\circ}{2}}\\\\\\ \mathsf{med(O\widehat{A}M)=30^\circ}\qquad\quad\checkmark$


Usando as razões trigonométricas no triângulo retângulo $\mathsf{OAM,}$ devemos ter

•   $\mathsf{\dfrac{\ell/2}{r}=cos\,30^\circ}$

$\mathsf{\dfrac{\ell}{2}=r\,cos\,30^\circ}\\\\\\ \mathsf{\ell=2r\,cos\,30^\circ}\qquad\quad\left(\textsf{mas }\mathsf{cos\,30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)\\\\\\ \mathsf{\ell=\diagup\!\!\!\! 2r\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\diagup\!\!\!\! 2}}$

$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\ell=r\sqrt{3}} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{medida do lado.}$


•   $\mathsf{\dfrac{a}{r}=sen\,30^\circ}$

$\mathsf{a=r\,sen\,30^\circ}\qquad\quad\left(\textsf{mas }\mathsf{sen\,30^\circ=\dfrac{1}{2}}\right)\\\\\\ \mathsf{a=r\cdot \dfrac{1}{2}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{a=\dfrac{r}{2}} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{medida do ap\'otema.}$


Bons estudos! :-)