Me ajude, por favor
Obtenha a equação geral da reta determinada por:
a) A (2, 3) e coeficiente angular m = 1.
b) A (3, 3) e coeficiente angular m = –1.
c) A (–1, 4) e coeficiente angular m = 1/2.
d) A (1, –5) e coeficiente angular m = –1/3
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) x - y + 1 = 0
b) x + y - 6 = 0
c) x – 2y + 9 = 0
d) x + 3y + 14= 0
( tem em ficheiro anexo os gráficos destas funções ; para aceder clicar em "baixar pdf " )
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
Obtenha a equação geral da reta determinada por:
a) A (2, 3) e coeficiente angular m = 1.
b) A (3, 3) e coeficiente angular m = – 1.
c) A (–1, 4) e coeficiente angular m = 1/2.
d) A (1, –5) e coeficiente angular m = –1/3.
Resolução :
Equação geral da reta
ax + by + c = 0
pode ser calculado pela fórmula:
( y – y1) = m * ( x – x1 )
em que se conhece o coeficiente angular e as coordenadas de um ponto da reta
m = coeficiente angular
(x1 ; y1) coordenadas de um ponto
A) A (2, 3) e coeficiente angular m = 1
Na fórmula ( y – y1) = m * ( x – x1 )
substitui-se “y1” pela coordenada em y do ponto A
substitui-se “x1” pela coordenada em x do ponto A
“ m “ é substituído pelo valor do coeficiente angular
( y – 3) = 1 * ( x – 2)
y - 3 = x – 2
Passar tudo para o 1º membro , onde fica, por esta ordem, em primeiro lugar o termo em “x” , depois o termo em “y”, de seguida o termo independente .
Depois do sinal igual ,fica o valor zero.
- x + y - 3 + 2 = 0
- x + y - 1 = 0
Multiplicar por ( - 1 ).
Não será obrigatório mas pode ser feito. É para apresentar o coeficiente de x , com sinal positivo.
x - y + 1 = 0
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b) A (3, 3) e coeficiente angular m = – 1
( y - 3 ) = - 1 * ( x – 3)
No 2º membro usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica,
( inclui adição e subtração)
y - 3 = - x + 3 passar todos os termos para 1º membro, trocando o sinal
x + y - 3 - 3 = 0
x + y - 6 = 0
ººººººººººººººº
c) A (–1, 4) e coeficiente angular m = 1/2.
( y - 4 ) = 1/2 * ( x - ( - 1 ))
Sinal “ - “ atrás de parêntesis troca o sinal do que está lá dentro, quando sai
( y - 4 ) = 1/2 * ( x + 1)
y - 4 = 1/2*x + 1 /2
- ½ x + y – 4 – ½ = 0
Vou atribuir denominadores a todos os termos e depois vou fazer com que os denominadores fiquem todos iguais.
- ½ x + y/1 – 4/1 – ½ = 0
Multiplicar o numerador e o denominador de y/1 por 2
Multiplicar o numerador e o denominador de - 4/1 por 2
- ½ x + 2y/2 – 8 / 2 – ½ = 0
Agora que todos têm o mesmo denominador, retiramos os denominadores.
- x + 2y – 8 – 1 = 0
- x + 2y – 9 = 0
Multiplicar todos os termos por ( - 1 ), vai originar que se troque o sinal a todos eles
x – 2y + 9 = 0
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d) A (1, – 5) e coeficiente angular m = –1/3.
( y – ( - 5) ) = - ⅓ * ( x – 1 )
y + 5 = - ⅓ x + ⅓
⅓ x + y + 5 – ⅓ = 0
⅓ x + y/1 + 5/1 – ⅓ = 0
⅓ x + 3*y/1*3 + 3*5/1*3 – ⅓ = 0
Retiro todos os denominadores, por serem iguais
x + 3y + 15 – 1 = 0
x + 3y + 14= 0
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Verificações:
Nota: várias vezes vou falar da Equação Geral da Reta.( EGR)
Por economia de tempo passo a partir de agora a chamá-la pelas iniciais EGR
a) x - y + 1 = 0
b) x + y - 6 = 0
c) x – 2y + 9 = 0
d) x + 3y + 14= 0
a) A (2, 3) e coeficiente angular m = 1.
b) A (3, 3) e coeficiente angular m = – 1.
c) A (–1, 4) e coeficiente angular m = 1/2.
d) A (1, –5) e coeficiente angular m = –1/3.
I) Verificar que cada ponto A indicado pertence à reta, através da EGR
Substituir as coordenadas de ponto A em cada equação
a) x - y + 1 = 0
2 - 3 + 1 = 0
2 + 1 – 3 = 0
0 = 0 verdade e confirma ponto A (2, 3) pertencer à reta na EGR
b) x + y - 6 = 0
3 + 3 - 6 = 0
6 – 6 = 0
0 = 0 verdade e confirma ponto A (3, 3) pertencer à reta na EGR
c) x – 2y + 9 = 0
- 1 - 2 * 4 + 9 = 0
( numa expressão numérica as operações que têm prioridade, quando não parêntesis, são as multiplicações e divisões , pela ordem que aparecem)
- 1 - 8 + 9 = 0
0 = 0 verdade e confirma ponto A ( - 1 ; 4 ) pertencer à reta na EGR
d) x + 3y + 14= 0
1 + 3 * ( - 5 ) + 14= 0
1 - 15 + 14 = 0
15 – 15 = 0
0 = 0 verdade e confirma ponto A ( 1 ; - 5 ) pertencer à reta na EGR
II) verificar, por cálculos que o coeficiente angular está a ser corretamente usado
Primeiro vou passar da EGR para a Equação Reduzida da reta
Método:
No 1º membro fica só o termo em y e com coeficiente igual a + 1 .
Todo o restante passar para 2º membro, trocando o sinal.
O coeficiente de x terá de ter o valor do “m” em cada alínea.
a) x - y + 1 = 0
- y = - x – 1
Dividir por ( - 1 )
y = x + 1
y = + 1 * x + 1 verificado que m = 1 é coeficiente angular da reta desta EGR
b) x + y - 6 = 0
y = - x + 6
y = - 1 * x + 6 verificado que m = - 1 é coeficiente angular da reta desta EGR
c) x – 2y + 9 = 0
- 2y = - x - 9
Dividir tudo por ( - 2 ), que é o coeficiente de y
- 2y / ( - 2 ) = - x / ( - 2 ) - 9 / ( - 2 )
y = - 1 / ( - 2) * x + 9/2
y = 1/ 2 * x + 9/2 verificado que m = 1/2 é coeficiente angular da reta desta EGR
d) x + 3y + 14= 0
3y = - x – 14
Dividir tudo por 3
3y/3 = – x / 3 – 14 / 3
Nota : - x / 3 = (- 1 * x ) / 3 = - ⅓ * x
y = - 1/3 x – 14/3 verificado que m = - 1/3 é coeficiente angular da reta desta EGR
Repare que o que ao fazer esta verificação, transformei as EGR em Equações Reduzidas da reta.
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir
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