Question

Me ajude nessa resolução passo a passo
Ache uma equação da reta tangente a curva y=x^3-3x^2+5x com inclinação minima?

Answer 1

Queremos uma reta de equação y=ax+b tal que a,b ∈ R e a é mínimo tangente á curva y=x³-3x²+5x.Seja f(x)=y.Logo,vale que:

f'(x)=3x²-6x+5

Vamos calcular as raízes de f'(x) por meio do delta,uma vez que se trata de uma equação do segundo grau:

Δ=36-60 < 0 

Como Δ<0,então f'(x) > 0 para qualquer x real.Isso indica que f é crescente em R e a>0 para todo x real.Como queremos o a mínimo,devemos calcular f''(x):


f"(x)=6x-6

Analisando o sinal de f"(x):

f"(x)=0 para x=1
f"(x) > 0 para x > 1
f"(x) < 0 para x < 1

Logo,veja que 1 é ponto de mínimo local de f'(x) e f'(1)=3-6+5=2 é valor de mínimo local de f'(x).Repare que tal valor também se refere ao a mínimo.Portanto,a=2.

Deste modo,voltemos a equação da reta tangente:

y=ax+b

Sabemos que a=2,x=1 e y=f(1)=1-3+5=3.Assim:

3=2*1+b <=> b=1

Finalmente, temos que :

y=2x+1 <--- esta é a equação da reta tangente com inclinação mínima