Question

me ajude ai gente por favor
sabendo que -2 é um autovalor de [2 2/ 2-1]um autoventor associado a este autovalor é

Answer 1

Se $\lambda=-2$ é um autovalor da matriz

$\mathbf{A}=\left[ \begin{array}{cc} 2&2\\ 2&-1 \end{array} \right ]$


e $\mathbf{v}$ é um autovetor associado a $\lambda,$

então, devemos ter

$\mathbf{Av}=\lambda\mathbf{v}\\ \\ \mathbf{Av}-\lambda\mathbf{v}=\mathbf{0}\\ \\ (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}\\ \\\left(\left[ \begin{array}{cc} 2&2\\ 2&-1 \end{array} \right ]-(-2)\left[ \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right ] \right )\mathbf{v}=\mathbf{0}\\ \\ \\ \left(\left[ \begin{array}{cc} 2&2\\ 2&-1 \end{array} \right ]+2\left[ \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right ] \right )\mathbf{v}=\mathbf{0}\\ \\ \\ \left(\left[ \begin{array}{cc} 2&2\\ 2&-1 \end{array} \right ]+\left[ \begin{array}{cc} 2&0\\ 0&2 \end{array} \right ] \right )\mathbf{v}=\mathbf{0}\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{cc} 4&2\\ 2&1 \end{array} \right ]\mathbf{v}=\mathbf{0}\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{cc} 4&2\\ 2&1 \end{array} \right ]\left[ \begin{array}{c} v_{1}\\ v_{2} \end{array} \right ]=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{c} 4v_{1}+2v_{2}\\ 2v_{1}+v_{2} \end{array} \right ]=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array} \right ]$


As duas linhas são linearmente dependentes, então, devemos ter

$2v_{1}+v_{2}=0\\ \\ v_{2}=-2v_{1}$


Se fizermos $v_{1}=\alpha,$ (onde $\alpha$ pode assumir qualquer valor real não-nulo, já que o autovetor não pode ser nulo), temos

$v_{1}=\alpha\;\;\Rightarrow\;\;v_{2}=-2\alpha$


Logo, o autovetor associado a $\lambda=-2$ é

$\mathbf{v}=\left[ \begin{array}{c} \alpha\\-2\alpha \end{array} \right ]\\ \\ \\ \mathbf{v}=\alpha\left[ \begin{array}{c} 1\\-2 \end{array} \right ]$


Para $\alpha=1,$ chegamos a

$\mathbf{v}=\left[ \begin{array}{c} 1\\-2 \end{array} \right ]$


Resposta: alternativa $\text{b) }\left[ \begin{array}{c} 1\\-2 \end{array} \right ].$