Question

⚠️ME AJUDAA?⚠️
Determine a integral a seguir seguindo as instruções da imagem anexada

Obs: precisa dos cálculos

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte integral indefinida:

$\displaystyle{\int \dfrac{1}{2+\sin(x)}\,dx}$

Realizamos a substituição de Weirstrass:$t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$.

$\dfrac{d}{dx}(t)=\dfrac{d}{dx}\left(\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)$

Para calcularmos esta derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma função $t=t(x)$ é dita implícita e é calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(t(x))=\dfrac{d(t(x))}{dt}\cdot \dfrac{dt}{dx}$.
• A derivada de uma função composta é calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(f(g(x)))=\dfrac{d(g(x))}{dx}\cdot f'(g(x))$.
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante: $\dfrac{d}{dx}(\tan(x))=\sec^2(x)$.

Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada da função tangente

$\dfrac{d}{dt}(t)\cdot \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot \sec^2\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Aplique a linearidade e a regra da potência

$1\cdot t^{1-1}\cdot \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot x^{1-1}\cdot \sec^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2}\sec^2\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Isolamos $dx$

$dx=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\cdot \sec^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}\,dt$

Sabendo que $\sec(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}$, calculamos a fração de frações

$dx=2\cdot \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dt$

Então, substituímos estes resultados na integral. Utilize o dado cedido pelo enunciado: $\sin(x)=\dfrac{2\cdot\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}$.

$\displaystyle{\int\dfrac{1}{2+\dfrac{2\cdot\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}}\cdot 2\cdot\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dt}$

Some as frações no denominador

$\displaystyle{\int\dfrac{1}{\dfrac{2\cdot\left(1+\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)+2\cdot\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}}\cdot 2\cdot\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dt}\\\\\\ \displaystyle{\int\dfrac{1}{\dfrac{2\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)+2\cdot\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)+2}{1+\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}}\cdot 2\cdot\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dt}$

Calcule a fração de frações

$\displaystyle{\int\dfrac{1+\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)+2\cdot\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)+2}\cdot 2\cdot\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dt}$

Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sec^2(x)=\tan^2(x)+1$ e simplificamos a fração

$\displaystyle{\int\dfrac{\sec^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)+2\cdot\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)+2}\cdot 2\cdot\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dt}\\\\\\ \displaystyle{\int\dfrac{1}{\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)+\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)+1}\,dt}$

Como tínhamos substituído $t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$, temos:

$\displaystyle{\int\dfrac{dt}{t^2+t+1}}$

Podemos completar o quadrado na expressão do denominador: $t^2+t+1=t^2+2\cdot t\cdot \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}=\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$\displaystyle{\int\dfrac{dt}{\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}}$

Esta é uma integral imediata: $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x^2+a^2}=\dfrac{1}{|a|}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{|a|}\right)+C,~C\in\mathbb{R}}$

$\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\cdot\arctan\left(\dfrac{t+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)+C$

Calcule a fração de frações e multiplique os valores

$\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\arctan\left(\dfrac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)+C$

Desfaça a substituição $t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$

$\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\arctan\left(\dfrac{2\cdot\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right)+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.