Question

me ajuda por favor sao equaçoes logaritimicas do 3 tipo

Answer 1

Oi,

$log_{2} x + log_{4} x = 3$

Antes de mais nada, aplicando mudança de base para termos logs com bases iguais:

$log_{4} x= \frac{ log_{2} x }{ log_{2} 4 } = \frac{log_{2} x}{2}$

Agora, com bases iguais, podemos desenvolver esse log:

$log_{2} x + \frac{log_{2} x}{2} = 3 \\ \\ \frac{ 2 \cdot log_{2} x+ log_{2} x = 6 }{2} \\ \\ 2 \cdot log_{2} x+ log_{2} x = 6 \\ \\ 3 \cdot log_{2} x= 6 \\ \\ log_{2} x = \frac{6}{3} \\ \\ log_{2} x = 2$

Pelas propriedades temos que a base elevada ao logaritmando resulta no logaritmo. Então:

$x= 2^2 \\ \\ \boxed{x= 4}$

PS: Esse valor de x satisfaz a condição de existência.

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$log_{5} x + log_{25} x = 6$

Mudando as bases para uma similar:

$log_{25} x = \frac{log_{5} x}{log_{5} 25} = \frac{log_{5} x}{2}$

Desenvolvendo o logaritmo:

$log_{5} x + \frac{log_{5} x}{2} = 6 \\ \\ \frac{2 \cdot log_{5} x+ log_{5} x= 12}{2} \\ \\ 2 \cdot log_{5} x+ log_{5} x= 12 \\ \\ 3 \cdot log_{5} x= 12 \\ \\ log_{5}x= \frac{12}{3} \\ \\ log_{5}x= 4$

A base elevada ao logaritmando resulta no logaritmo. Então, temos:

$x= 5^4 \\ \\ \boxed{x= 625}$

PS: Esse valor de x satisfaz a condição de existência.

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$log_{3} (x+1) + log_{9} (x+1)= \frac{9}{2}$

Mudando as bases para uma similar:

$log_{9} (x+1) = \frac{log_{3} (x+1)}{log_{3} 9} = \frac{log_{3} (x+1)}{2}$

Desenvolvendo o logaritmo:

$log_{3} (x+1) + \frac{log_{3} (x+1)}{2} = \frac{9}{2} \\ \\ \frac{2 \cdot log_{3} (x+1) + log_{3} (x+1)= 9}{2} \\ \\ 2 \cdot log_{3} (x+1) + log_{3} (x+1)= 9 \\ \\ 3 \cdot log_{3} (x+1)= 9 \\ \\ log_{3} (x+1)= \frac{9}{3} \\ \\ log_{3} (x+1) = 3$

A base elevada ao logaritmando resulta no logaritmo. Então, temos:

$x+1= 3^3 \\ \\ x+1= 27 \\ \\ x= 27-1 \\ \\ \boxed{x= 26}$

PS: Esse valor de x satisfaz a condição de existência.