me ajuda nessa questão por favor, Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, pontos (x,y) de máximos e/ou
mínimos, concavidade e pontos (x,y) de inflexão, se existirem, da função f(x) = x³ – 3x²
Soluções para a tarefa
Lembramos que se a derivada de uma função é positiva num intervalo, então a função é crescente nesse intervalo. E se a derivada é negativa, a função será decrescente nesse intervalo. E nos pontos onde a derivada é nula, temos pontos críticos da função. Com isso temos:
f(x) = x³ -3x²
f'(x) = 3x² - 6x
Assim, vamos determinar os pontos críticos:
f'(x) = 0 ⇒ 3x² - 6x = 0⇒ x² - 2x = 0 ⇒ x = 0 ou x = 2
Portanto, os pontos críticos da função são x = 0 e x = 2. Temos também
f'(x) > 0 se x < 0 ou x > 2
f'(x) < 0 se 0 < x < 2
Logo, a função é crescente nos intervalos (-∞,0) e ( 2,∞) e decrescente no intervalo (0,2). Portanto o ponto x = 0 é máximo local e x = 2 é mínimo local. Mas esses pontos não são máximos nem mínimos globais pois f(x) tende a ±∞ quando x tende a ±∞.
Para os pontos de inflexão calculamos a derivada segunda:
f''(x) = 6x - 6
f''(x) = 0 ⇒ x = 1
f''(x) > 0 ⇒ x > 1
f''(x) < 0 ⇒ x< 1
Portanto, x = 1 é ponto de inflexão. Se x > 1 a concavidade da função é para cima e se x< 1 a concavidade é para baixo.
Resposta:
Crescimento nos intervalos (-∞,0) e ( 2,∞)
Decrescimento em (0,2)
x = 0 é máximo local mas não global
x = 2 é mínimo local mas não global
x = 1 é ponto de inflexão
Em (-∞,1) a concavidade é para baixo e em ( 1,∞) é para cima.