Question

Me ajuda! Nessa questão, não consigo resolver

Answer 1

Oi Fabin, para resolver esse problema de transformada de Laplace devemos saber o que é uma transformada de Laplace:

A transformada de Laplace é uma transformação integral que converte uma função na variável real t (geralmente tempo) em uma função na variável complexa s.

Usando tal propriedade, calcule a Transformada de Laplace do sinal $x(t) = t^2 sen\ \omega t$ Sugestão: Lembre-se que:

$\mathcal L \left\{sen\ \omega t =\right\}=\dfrac{\omega}{s^2+\omega ^2}$

Solução:

Para encontrar a transformada de Laplace da função tempo de $\large x(t) = t^2 sin\ \omega t$ devemos aplicar a propriedade do teorema de uma derivada, isto é:

$\large \mathcal L\left\{ t^n f(t)\right\}=\left(-1\right)^n\dfrac{d^n}{ds^n} \mathcal L\left\{f(t)\right\}$

Agora, se aplicarmos essa propriedade com nossa função de tempo para encontrar sua transformada de Laplace, obteremos:

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=\left(-1\right)^2\dfrac{d^2}{ds^2} \mathcal L\left\{sen \omega t\right\}$

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=\dfrac{d^2}{ds^2} \mathcal L\left\{sen \omega t\right\}$

• Agora aplicando a questão sobre a transformada de Laplace do seno podemos obter:

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=\dfrac{d}{ds}\left[\dfrac{d}{ds}\dfrac{\omega}{s^2+\omega ^2 }\right]$

Para realizar a derivada vamos fazer nossa constante, no nosso caso a constante é "ω":

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=\dfrac{d}{ds}\left[\omega \dfrac{d}{ds}\left(\dfrac{1}{s^2+\omega ^2}\right ) \right]$

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=\dfrac{d}{ds}\left[\omega \dfrac{d}{ds} \left(s^2+\omega ^2\right)^{-1}\right]$

Se quisermos realizar a primeira derivada da função variável complexa, devemos aplicar a regra da cadeia derivada e obter:

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=\dfrac{d}{ds}\left[\omega\cdot -\dfrac{1}{(s^2+\omega ^2)} \dfrac{d}{ds}\left(s^2+\omega ^2\right) \right]$

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=\dfrac{d}{ds}\left[\omega\cdot- \dfrac{1}{(s^2+\omega^2)^2} \ \left(\dfrac{d}{ds} s^2+\dfrac{d}{ds}\omega ^2\right)\right]$

Lembre-se que a derivada de uma constante diferente e não em relação à derivada da outra variável será igual a 0.

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=\dfrac{d}{ds}\left[\omega\cdot -\dfrac{1}{(s^2+\omega^2)^2} \ \left(\dfrac{d}{ds} 2s^{2-1}\right)\right]$

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=\dfrac{d}{ds}\left[\omega\cdot \dfrac{1}{(s^2+\omega ^2)^2} 2s\right]$

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=\dfrac{d}{ds}\left[\omega\cdot -\dfrac{1}{(s^2+\omega ^2)^2}\cdot 2s\right]$

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=\dfrac{d}{ds}-\dfrac{2\omega s}{(s^2+\omega ^2)^2}$

• Mas se derivarmos a função novamente teremos:

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=-2\omega \cdot \dfrac{d}{ds}\dfrac{ s}{(s^2+\omega ^2)^2}$

Para resolver esta derivada um tanto complexa, bastará aplicar a regra do quociente e assim obter:

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=-2\omega \cdot \dfrac{ \dfrac{d}{ds}\left(s\right)\left(s^2+\omega^2\right)^2-\dfrac{d}{ds} \left( \left(s^2+\omega^2\right)^2\right)\left(s\right)}{(s^2+\omega ^2)^4}$

Onde a derivada de "s" é igual a 1 e a derivada de (s^2+ω^2)^2 é igual a 4s(s^2+ω^2).

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=-2\omega \cdot \dfrac{ 1\cdot \left(s^2+\omega^2\right)^2-4s(s^2+\omega ^2)\left(s\right)}{(s^2+\omega ^2)^4}$

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=-2\omega \cdot \dfrac{ \left(s^2+\omega^2\right)^2-4s(s^2+\omega ^2)\left(s\right)}{(s^2+\omega ^2)^4}$

A expressão acima pode ser simplificada para eliminar a expressão abaixo para obter:

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=-2\omega \cdot \dfrac{ \cancel{\left(s^2+\omega^2\right)}\cdot(-3s^2+\omega ^2)}{\cancel{(s^2+\omega ^2)^4}}$

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=-2\omega \cdot \dfrac{ (-3s^2+\omega ^2)}{{(s^2+\omega ^2)^3}}$

Agora, se multiplicarmos a constante pela fração, obteremos:

$\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=- \dfrac{ 2\omega (-3s^2+\omega^2)}{{(s^2+\omega ^2)^3}}$

$\boxed{\boxed{\large \mathcal L\left\{ t^2 sen \omega t\right\}=- \dfrac{(-6\omega s^2+2\omega^3)}{{(s^2+\omega ^2)^3}}}}$

Essa seria a transformada de Laplace da função que depende do tempo.

Mais em:

• https://brainly.com.br/tarefa/49313836
• https://brainly.com.br/tarefa/49466035

Dúvidas? Comente =)

$\textit{\textbf{Nitoryu}}$