Question

me ajuda na resolucao dessa tarefa por favor? integral por substituicao de variavel

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \int \limits_{ - 1} ^{1} 3x {}^{2} \sqrt{x {}^{ 3} + 1 } dx$

Vamos reorganizá-la de forma que aquela raiz vire um expoente:

$\sf \int \limits_{ - 1}^{1}3x {}^{2} .(x^{3} + 1) {}^{ \frac{1}{2} } dx$

• A questão pede para usarmos nessa resolução o método da integral por substituição de variável, ou seja, teremos que seguir essa indicação.

Para resolver através de substituição de variável, você deve notar se na integral há uma função e a sua derivada ao mesmo tempo, esse é o requisito para usar este método.

• Podemos ver que a derivada de x³ + é sim 3x², portanto o x³ + 1 será o nosso "u" o 3x³ será o valor que será derivado em relação a "u".

$</p><p> \sf \int \limits_{ - 1} ^{1} 3x {}^{2} .(x {}^{ 3} + 1 ) {}^{ \frac{1}{2} } dx \\ \sf u = x {}^{3} + 1 \\ \sf \frac{du}{dx} = 3x {}^{2} \\ \sf du = 3x {}^{2} dx$

Substituindo esses dados na integral:

$\sf \int \limits_{ - 1} ^{1} 3x {}^{2} .(x {}^{3} + 1) {}^{ \frac{1}{2} } dx = \sf \int \limits_{ - 1} ^{1} \underbrace{3x {}^{2}. dx}_{du} . \underbrace{(x {}^{3} + 1) {}^{ \frac{1}{2} }} _u= \sf \int \limits_{ - 1} ^{1}u {}^{ \frac{1}{2}} .du$

Agora você deve aplicar a integral imediata, dada por:

$\boxed{\sf\int u^{n} du = \frac{u^{n+1}}{n+1}}$

Aplicando:

$\sf \sf \int \limits_{ - 1} ^{1} u {}^{ \frac{1}{2}}.du = \frac{u {}^{ \frac{1}{2} + 1} }{ \frac{1}{2} + 1} = \frac{u {}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } = \frac{2u {}^{ \frac{3}{2} } }{3} = \frac{2.(x {}^{3} + 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3}$

Para finalizar, basta você aplicar o Teorema fundamental do cálculo que diz:

$\sf\int_{a}^{b} f(x)dx = f(b) - f(a) \\ \\ \sf obs: f(b) - f(a) = \sf\begin{array}{|} \sf{b} \\ \\ \sf a \end{array}$

Aplicando;

$\sf \int \limits_{ - 1} ^{1} \sf\frac{2.(x {}^{3} + 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} = \frac{2.(x {}^{3} + 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \:\begin{array}{|} \sf{1} \\ \\ \sf - 1 \end{array}\\ \\ \sf \frac{2.(1 {}^{3} + 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \left( \frac{2.( - 1{}^{3} + 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \right) \\ \\ \sf \frac{2.(1 + 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \left( \frac{2.( - 1 + 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3 } \right) \\ \\ \sf \frac{2 {}^{1} .(2) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \cancel{\left( \frac{2.(0) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \right)} = \frac{2 {}^{1 + \frac{3}{2} } }{3} = \Large\boxed{\boxed{ \sf\frac{2^{ \frac{5}{2}} }{3} }}$

Espero ter ajudado