Question

me ajuda gente por favor

Answer 1

$log _{3}(2x-1)-log _{3}(x-2)=1$


Condição de existência: $\begin{cases}2x-1>0~~~~~x-2>0\\ 2x>1~~~~~~~~~~x>2~~~~~~~~\to~logaritmando\\ x>1/2\end{cases}$

Aplicando o logaritmo do quociente

$log _{a}b-log _{a}c~\to~log _{a}( \frac{b}{c})$, teremos:

$log _{3}( \frac{2x-1}{x-2})=1$

Agora vamos aplicar a definição de logaritmos:

$\frac{2x-1}{x-2}=3 ^{1}\\\\ \frac{2x-1}{x-2}=3\\\\ 2x-1=3(x-2)\\ 2x-1=3x-6\\ 2x-3x=-6+1\\ -x=-5~~~~~*~~~~~(-1)\\ ~~~~x=5$

Vemos portanto que não há nenhuma restrição, para com a condição de existência, portanto:


$\boxed{S=\{5\}}$

_______________________________________

$log _{2}(x-1)+log _{2}(2x+2)=4$


Restrições: $\begin{cases}x-1>0~~~~~~~2x+2>0\\ x>1~~~~~~~~~~~~2x>-2\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x>-1\end{cases}$

Como a equação acima é do tipo produto, vamos aplicar a p1:

$log _{a}b+log _{a}c~\to~log _{a}(b*c)$

$log _{2}(x-1).(2x+2)=4\\ log _{2}(2x^{2} +2x-2x-2)=4\\ log _{2}(2x^{2} -2)=4$

Agora usando novamente a definição de logaritmos, temos:

$(2x^{2} -2)=2 ^{4}\\ 2 x^{2} -2=16\\ 2 x^{2} =16+2\\ 2 x^{2} =18\\ x^{2} =18/2\\ x^{2} =9\\ x=\pm \sqrt{9}\\ x=\pm3$

Como -3 não atende a condição de existência, temos que:

$\boxed{S=\{3\}}$


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =)