Question

Me ajuda calcula o limite
$\lim_{x \to \ 0^+} x^{sen x}$

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x \to \ 0^+} x^{sen x}$

Primeiro vamos lembrar da seguinte propriedade do número de euler (e):

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{L = e {}^{ \ln( L ) } }$

Então podemos escrever esse limite desse jeito:

$\lim_{x \to \ 0^+} x^{sen x} \longrightarrow \lim_{x \to \ 0^+}e {}^{ \ln(x {}^{sen(x)} )}$

Por meio das propriedades de logarítmos, podemos trazer aquele expoente sen(x) para baixo multiplicando ln(x) a propriedade é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \ln (a) {}^{b} = b. \ln(a)}$

Aplicando a tal propriedade, temos que:

$\lim_{x \to \ 0^+}e {}^{ \ln(x {}^{sen(x)} )} \longrightarrow \lim_{x \to \ 0^+}e {}^{ sen(x). \ln(x)}$

Outra propriedade que será usada é própria de limites, ela é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \lim_{x \to \ a}e {}^{f(x)} \to e {}^{ \lim_{x \to a}f(x)}}$

Aplicando mais essa propriedade:

$\lim_{x \to \ 0^+}e {}^{ sen(x). \ln(x)}\longrightarrow e {}^{\lim_{x \to \ 0^+} sen(x). \ln(x)}$

Agora vamos fazer alguma modificação na expressão para que possamos utilizar a regra de L'Hôpital, já que esse regra é utilizada quando tem-se 0/0 ou com ∞/∞, partindo dessa ideia, podemos escrever o seno dessa maneira:

$\text{cossec(x)} = \frac{1}{ \text{sen(x)}} \longrightarrow \text{sen(x)} = \frac{1}{ \text{cossec(x)}}$

Reescrevendo o seno:

$e^{\lim_{x \to \ 0^+} \frac{1}{ \text{cossec(x)}} . \ln(x)} \longrightarrow e^{\lim_{x \to \ 0^+} \frac{ \ln(x)}{ \text{cossec(x)}} }$

Agora de fato podemos aplicar a regra de L'Hôpital, então:

$e {}^{ \lim_{x \to \ 0^+} \frac{ \frac{d}{dx} \ln(x) }{ \frac{d}{dx} \text{cossec(x)}} } \longrightarrow e {}^{ \lim_{x \to \ 0^+} \frac{ \frac{1}{x} }{ \text{ - cossec(x)}{. \cotg(x)}} } \\ \\ e {}^{ \lim_{x \to \ 0^+} \frac{ \frac{1}{x} }{ - \frac{ 1}{ \text{sen(x)} }. \frac{ \cos(x)}{ \text{sen(x)}} } } \longrightarrow e {}^{ \lim_{x \to \ 0^+} \frac{ \frac{1}{x} }{ \frac{ - \cos(x)}{ sen {}^{2}(x)} }} \\ \\ e {}^{ \lim_{x \to \ 0^+} - \frac{sen {}^{2}(x) }{x . \cos(x)} } \longrightarrow e {}^{ \lim_{x \to \ 0^+} - \frac{ \text{ sen(x)}}{ \cos(x)} . \frac{ \text{sen ( x)}}{x} } \\ \\ e {}^{ \lim_{x \to \ 0^+} - \frac{ \text{ sen(x)}}{ \cos(x)}. \lim_{x \to \ 0^+} \frac{ \text{sen ( x)}}{x} }$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$e {}^{ \lim_{x \to \ 0^+} - \frac{ \text{ sen(x)}}{ \cos(x)}. \lim_{x \to \ 0^+} \frac{ \text{sen ( x)}}{x} } \\ e {}^{ \frac{ \text{ sen(0 + )}}{ \cos(0 {}^{ + } )} .1 }\longrightarrow e {}^{0.1} \longrightarrow \boxed{ \boxed{ \boxed{\boxed{ e {}^{0} = 1}}}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$\lim_{x \to \0} x^{senx} =$

Aplicando as propriedades de e /  ln, teremos:

$\lim_{x \to \0} x^{senx} = \lim_{x \to \ 0} e^{ln (x) . sen (x)} =$

Pela regra da cadeia:

$\lim_{x \to \0} x^{senx} = 1$