Question

me ajuda, a imagem referente a questão está logo acima​

Answer 1

A imagem convenientemente nos provém de um sistema de coordenadas. A direção x positiva fica sendo a direção que aponta para a direita na imagem.

Vamos escrever a equação do movimento para essa massa.

Quando nós deslocamos a massa uma distância x da posição de equilíbrio duas forças passam a agir. Temos a força F1 causada pela mola 1 e a força F2 causada pela mola 2 (como mostrado na figura).

Ambas as forças possuem o mesmo sentido e apontam na direção contrária ao movimento do bloco.

Na situação (b), perceba que a mola 1 está esticada, então ela puxará o bloco de volta ao equilíbrio. Já a mola 2 está comprimida, empurrando o bloco de volta a posição de equilíbrio. Se o bloco fosse deslocado na direção oposta, a cena se inverte (por simetria).

Com isso a equação do movimento do bloco é:

$\displaystyle{m\ddot x = -k_1 x - k_2 x }$

$\displaystyle{m\ddot x + (k_1+ k_2)x=0 }$

Essa equação é a equação de um oscilador harmônico!

Ela tem por solução geral:

$\displaystyle{x(t) = A\cos\left(\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}t+\phi\right) }$

Vamos denotar $\omega = \sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$ para facilitar a notação.

Precisamos achar os valores para A e φ:

Se admitirmos que a massa é solta do repouso teremos as condições iniciais $x(0)=x_0$ e $\dot x(t) = 0$.

Colocando na nossa equação:

$\displaystyle{x (t) = A \cos \left( \omega t + \phi \right) }$

$\displaystyle{\dot x (t) = -A\omega \sin\left( \omega t + \phi \right) }$

$\displaystyle{\dot x (0) = -A\omega \sin\left( \phi \right)=0 }$

Como A e ω não podem ser nulos:

$\displaystyle{\sin\left( \phi \right)=0 }$

$\displaystyle{ \phi =0 }$

$\displaystyle{x (0) = A \cos \left( \phi \right) =x_0}$

$\displaystyle{A \cos \left( 0 \right) =x_0}$

$\displaystyle{A =x_0}$

Com isso a solução geral para o movimento da massa é:

$\displaystyle{\boxed{x(t) = x_0 \cos\left(\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}t\right) }}$

Essa função é uma função periódica. Ela indica que a massa irá ir e voltar em torno da posição de equilíbrio.

Da situação (b) a massa será empurrada de volta para trás. Mas nesse processo ela ganhará velocidade e irá ultrapassar o ponto de equilíbrio.

Aqui a situação se inverte. A massa continuará indo para a esquerda até parar por completo por causa da forças das molas. E então voltará para a direita na direção de equilíbrio, um movimento de vai-e-vem.

Qual o período desse movimento? Pelas propriedades da função cosseno temos que o período será:

$\displaystyle{T =\frac{2\pi}{\omega} }$

Como $\omega = \sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$ :

$\displaystyle{T =\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}} }$

$\displaystyle{\boxed{T =2\pi{\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}} }}$