Question

Máximos e mínimos cálculo II

f (x, y) = $x^{2} + y ^{2} - 2x - 4y$

Resposta: Mínimo global (1,2)

Answer 1

Oi 

Derivando em relação a x     Derivando em relação a y

f(x,y) = x²+y²-2x-4y                f(x,y)=x²+y²-2x-4y
fx(x,y)=2x-2                           fy(x,y)=2y-4

igualando a zero                 igualando a zero

2x-2=0                               2y-4=0
2x=2                                  2y=4
x=2/2                                  y=4/2
x=1                                     y=2

Aí temos os nossos pontos críticos x=1 e y=2. 

Pra saber se esse ponto é de máximo , mínimo ou ponto de sela vamos fazer a segunda derivada

f(x,y)=x²+y²-2x-4y                       f(x,y)=x²+y²-2x-4y
fx(x,y)=2x-2                                fy(x,y)=2y-4
fxx(x,y)=2                                   fyy(x,y)=2

Calculando a fxy :

f(x,y)=x²+y²-2x-4y 
fx(x,y)=2x-2
fxy(x,y)=0

Usando a matriz hessiana: 

H(x,y)= fxx.fyy - (fxy)²
H(x,y)= 2.2 - 0²
H(x,y)=4

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Analisando:

Se H >0 e fxx > 0  então nossos pontos críticos encontrados são um ponto de mínimo. 

Mínimo Global (1 , 2 ) 

:)