Question

Mauro quer comprar um relógio e para isso resolveu guardar no primeiro dia do mês de maio $3,00; no segundo dia $4,00; no terceiro dia $5,00 e assim por diante até completar 30 dias, sempre obedecendo uma PA. Sabendo-se que o preço do relógio é $420,00, será que após 30 dias o dinheiro guardado por Mauro será suficiente ?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Theualves, que a resolução é simples.
Como costumamos fazer nas nossas respostas vamos tentar resolver tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que Mauro está guardando os seus valores (para comprar o relógio) da seguinte forma: R/4 3,00 no primeiro dia; R$ 4,00mno seungo dia. R$ 5,00 no terceiro dia e assim por diante até o  30º dia.
Pede-se para saber se, após o 30º dia Mauro terá dinheiro suficiente para comprar o relógio que custa R$ 420,00.

ii) Note que vamos ter uma PA que terá a seguinte conformação:

(3; 4; 5; .........).

Veja que se trata de uma PA cujo primeiro termo (a₁) é igual a "3" e cuja razão (r) é igual a "1". pois a razão de uma PA é constante e é obtida pela diferença entre cada termo subsequente e o seu respectivo antecedente. Ou seja:

r = 5-4 = 4-3 = 1.

iii) Agora vamos saber qual será o valor que será guardado por Mauro no 30º dia. Para isso, aplicaremos a fórmula do termo geral de uma PA, que é esta:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "an" por "a₃₀", pois queremos encontrar qual é o valor guardado por Mauro no 30º dia. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "3", que é o valor do primeiro termo. Por seu turno, substituiremos "n" por "30", pois estamos querendo encontrar o valor do 30º termo. E, finalmente, substituiremos "r" por "1", que é o valor da razão da PA. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

a₃₀ = 3 + (30-1)*1
a₃₀ = 3 + (29)*1 ---- ou apenas:
a₃₀ = 3 + 29
a₃₀ = 32 <--- Este será o valor que Mauro guardará no 30º dia.

iv) Agora, finalmente, vamos ver se a soma de todos esses valores guardados até o 30º dia dará para comprar o relógio, que custa R$ 420,00. 
Para isso, aplicaremos a fórmula da soma dos "n" primeiros termos de uma PA que é dada assim:

Sn = (a₁+an)*n/2

Na fórmula acima, "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos da PA. Como queremos saber a soma dos 30 primeiros termos, então substituiremos "Sn" por "S₃₀". Por sua vez, substituiremos "a₁" por "3", que é o valor do primeiro termo. Por seu turno, substituiremos "an" pro "a₃₀" e que já vimos que é igual a "32". E, finalmente, substituiremos "n" por "30", pois estamos encontrando a soma dos 30 primeiros termos da PA. Assim, fazendo todas as substituições, teremos:

S₃₀ = (3 + 32)*30/2
S₃₀ = (35)*30/12 ------ como "30/2 = 15", ficaremos:
S₃₀ = (35)*15 --- ou apenas:
S₃₀ = 35*15 ---- note que este produto dá exatamente "525". Logo:
S₃₀ = 525,00 <--- Esta é a soma dos 30 primeiros termos da PA da sua questão. Então o valor apurado, após o 30º dia, dará para que Mauro compre o relógio por R$ 420,00 e ainda vai lhe sobrar um trocado no valor de R$ 105,00 , pois R$ 525,00 - R$ 420,00 = R$ 105,00.

v) Assim, resumindo, temos que:

O valor apurado é suficiente, sim, para que Mauro compre do relógio e ainda vai lhe sobrar R$ 105,00, como vimos acima <--- Esta é a resposta.

É isso aí
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.