Question

Matrizes, encontre xyzt tais que 3. [x y] = [x 6] + [4 x+y]
[z t] [-1 2t] [z+t 3]

Obs: sao matrizes 2x2

Answer 1

Olá

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$3\cdot\left[\begin{array}{ccc}x&y\\z&t\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}x&6\\-1&2t\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}4&x+y\\z+t&3\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \text{Multiplica o 3 pela primeira matriz} \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}3x&3y\\3z&3t\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}x&6\\-1&2t\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}4&x+y\\z+t&3\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \text{Agora so precisamos igualar cada termo, e com isso iremos}$
$\text{encontrar seus respectivos valores} \\ \\ 3x=x+4 \\ \\ \text{Note que eu peguei os primeiros numeros das 3 matrizes} \\ \\ 3x-x=4 \\ 2x=4 \\ x= \frac{4}{2} \\\\ \boxed{x=2} \\ \\ \text{Encontramos o valor da primeira incognita, agora e so repetir o que}\\\text{fizemos.}$

$\text{Agora vamos encontrar o valor do y, igualando o segundo termo}\\\text{das 3 matrizes} \\ \\ 3y=6+x+y \\ \\ \text{Como ja encontramos o valor do x, entao e so substituir} \\ \\ 3y=6+2+y \\ 3y-y=8 \\ 2y=8 \\ y= \frac{8}{2} \\ \\ \boxed{y=4}$

$\text{Antes de encontrar o valor do z, vamos encontrar o valor do t, }\\\text{que esta mais facil, e ira facilitar quando formos encontrar o valor do z}\\\\ \text{Entao, pegando o segundo termo da segunda linha das 3 matrizes} \\ \\3t=2t+3 \\ 3t-2t=3 \\ \boxed{t=3}$

$\text{Agora sim, vamos encontrar o valor do z}\\\text{Pegando o primeiro termo da segunda linha das 3 matrizes} \\ \\ 3z=-1+z+t \\ \\ \text{Substitui o valor do t que encontramos}\\\\3z=-1+z+3 \\ 3z-z=2 \\ 2z=2 \\ z= \frac{2}{2} \\ \\\boxed{z=1 }$

Agora que encontramos os valores das 4 incógnitas, vamos substituir seu valores nas matrizes, e veremos se o resultado está correto...Para que os valores que encontramos estejam corretos, as matrizes, após substituirmos os valores das incógnitas, tem que serem iguais

$\left[\begin{array}{ccc}3x&3y\\3z&3t\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}x&6\\-1&2t\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}4&x+y\\z+t&3\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}3\cdot(2)&3\cdot(4)\\3\cdot(1)&3\cdot(3)\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2&6\\-1&2\cdot(3)\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}4&2+4\\1+3&3\\\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}6&12\\3&9\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2&6\\-1&6\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}4&6\\4&3\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \text{Soma as duas matrizes} \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}6&12\\3&9\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}(2+4)&(6+6)\\(-1+4)&(6+3)\\\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}6&12\\3&9\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}6&12\\3&9\\\end{array}\right] ~~~~~~ ~~ ~\surd \\ \\ \\ \\ \text{As matrizes ficaram iguais, portanto os resultados que encontramos}\\\text{Estao corretos}$