Question

matriz inversa de:
M= 0 2
5 -1

Answer 1

$\begin{array}{l}\mathsf{Dada~uma~matriz~invers\'ivel~A,~existir\'a~apenas~uma~matriz~A^{-1}}\\\mathsf{chamada~de~matriz~inversa,~tal~que:}\\\\\fbox{ \mathsf{A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=\textit{I}_n} }\end{array}$


$\begin{array}{l}\mathsf{Fazendo~A^{-1}=}\begin{bmatrix}\mathsf{a~~~~b}\\ \mathsf{c~~~~d} \end{bmatrix}\mathsf{,~teremos~o~seguinte:}\end{array}$


$\begin{array}{l}\begin{bmatrix} \mathsf{a~~~~b}\\ \mathsf{c~~~~d} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \mathsf{0~~~~~2}\\ \mathsf{5~~-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathsf{1~~~~0}\\ \mathsf{0~~~~1} \end{bmatrix}~\Rightarrow~\begin{bmatrix} \mathsf{(5b)~~~~(2a-b)}\\ \mathsf{(5d)~~~~(2c-d)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathsf{1~~~~0}\\ \mathsf{0~~~~1} \end{bmatrix}\end{array}$


$\begin{array}{l}\textsf{Quando duas matrizes s\~ao iguais, cada elemento de uma matriz deve}\\\textsf{ser igual ao seu correspondente na outra matriz. Ou seja:}\\\\\\\left\{\begin{matrix} \mathsf{5b=1}\\\\\mathsf{2a-b=0} \end{matrix}\right.~\Longrightarrow~\mathsf{b=\dfrac{1}{5}~~~~e~~~~a= \dfrac{1}{10}}\\\\\\\left\{\begin{matrix} \mathsf{5d=0}\\\\\mathsf{2c-d=1} \end{matrix}\right.~\Longrightarrow~\mathsf{d=0~~~~e~~~~c= \dfrac{1}{2}}\end{array}$


$\begin{array}{l}\textsf{Substituindo os elementos obteremos a seguinte matriz, que ser\'a}\\\textsf{a matriz inversa de A~(A~=~M~do~enunciado~da~sua~quest\~ao):}\\\\\\\mathsf{A^{-1}=}\begin{bmatrix} \mathsf{a~~~~b}\\\mathsf{c~~~~d} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathsf{\dfrac{1}{10}~~~~~~\dfrac{1}{5}}\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2}~~~~~~~0}\end{bmatrix}\end{array}$